El grafo adivinador de la letra del DNI

En m¨¢s de una ocasi¨®n he hablado con gente sobre si saben c¨®mo se asigna la letra del DNI, y en la mayor¨ªa de los casos he recibido la misma respuesta: no lo s¨¦. Casi todos me acaban diciendo que piensan que podr¨ªa ser una asignaci¨®n al azar, aunque en ocasiones (pocas) me he encontrado con gente que cree que debe haber una especie de f¨®rmula que se encargue de esta tarea. La realidad es que son estos ¨²ltimos quienes est¨¢n en lo cierto. En el presente art¨ªculo vamos a hablar sobre c¨®mo se hace este c¨¢lculo de la letra del DNI y tambi¨¦n explicaremos c¨®mo construir un grafo adivinador de la letra del DNI.

Vamos a comenzar explicando cu¨¢l es el m¨¦todo de asignaci¨®n de letra al n¨²mero del DNI, que, dicho sea de paso, es bastante sencillo. Tomamos el n¨²mero del DNI, de 8 cifras, lo dividimos entre 23 y nos quedamos con el resto de dicha divisi¨®n. Despu¨¦s buscamos ese resto en la siguiente tabla y tomamos la letra que le corresponda:

Si quer¨¦is, pod¨¦is comprobarlo con vuestro propio DNI. ?Que no ten¨¦is ganas de dividir entre 23? Usad calculadora¡­ Ups, pero la calculadora, normalmente, no muestra el resto de la divisi¨®n, ?verdad? No hay problema: divid¨ªs vuestro n¨²mero de DNI entre 23, le quit¨¢is los decimales al resultado, multiplic¨¢is lo que os quede por 23 y le rest¨¢is lo que os d¨¦ a vuestro n¨²mero de DNI, y ya ten¨¦is el resto. Veamos un ejemplo con el n¨²mero 34567890:

34567890/23 = 1502951¡¯7391¡­

1502951 ¡¤ 23 = 34567873

34567890 ¨C 34567873 = 17

Miramos en la tabla anterior y vemos que, como el resto es 17, al n¨²mero 34567890 le corresponde la letra V.

Visto esto, vamos a construir nuestro grafo adivinador. Para quien no lo sepa, un grafo es b¨¢sicamente un conjunto de puntos (que tiene al menos uno), que se llaman v¨¦rtices, y un conjuntos de l¨ªneas (podr¨ªa no haber ninguna, aunque en ese caso el grafo tendr¨ªa poco inter¨¦s) que conectan parejas de puntos, llamadas aristas. En nuestro caso, construiremos un grafo dirigido, lo que significa que las aristas ser¨¢n flechas que se pueden recorrer en un solo sentido.

Nuestro ¡°grafo adivinador¡± va a tener 23 v¨¦rtices. En principio, en ellos colocamos los 23 posibles restos que se pueden obtener al dividir entre 23, de 0 a 22. Disponemos estos v¨¦rtices en c¨ªrculo en el orden que indica la propia tabla, y unimos cada uno con el siguiente con una flecha (son las flechas negras de la imagen siguiente) hasta cerrar el c¨ªrculo.

Ahora dibujamos un nuevo grupo de flechas (las rojas de la imagen posterior) seg¨²n la siguiente regla: cada v¨¦rtice V se une con una flecha con el resto que queda al dividir 10 ¡¤ V entre 23. Por ejemplo, para ver con cu¨¢l habr¨¢ que unir el v¨¦rtice 7 hacemos 10 ¡¤ 7 = 70 y dividimos 70 entre 23. Esa divisi¨®n da resto 1, por lo que del 7 saldr¨¢ una flecha que llegar¨¢ al 1. Y, por poner otro ejemplo, para el 11 tenemos que 10 ¡¤ 11 es 110, y la divisi¨®n de 110 entre 23 da de resto 18, por lo que del 11 saldr¨¢ una flecha que llegar¨¢ al 18.

Cuando tengamos todas esas flechas dibujadas, sustituimos cada resto, los n¨²meros del 0 al 22 que pusimos al principio, por la letra que le corresponde en la tabla anterior, y nos queda nuestro grafo adivinador de la letra del DNI:

Bonito, ?verdad? Veamos ahora c¨®mo podemos usarlo para adivinar la letra de un DNI espa?ol. La cosa es como sigue:

Comenzando en la T, tomamos el primer d¨ªgito del DNI y recorremos tantas flechas negras como diga ese d¨ªgito. Cuando lleguemos a una letra, recorremos la flecha roja que sale de ella. Desde ah¨ª, hacemos lo mismo con el segundo d¨ªgito, las flechas negras que diga y luego la roja. As¨ª hasta el s¨¦ptimo d¨ªgito. Despu¨¦s recorremos las negras que diga el octavo d¨ªgito, y la letra en la que terminemos es la letra que hay que asignar al n¨²mero inicial.

Veamos como ejemplo cu¨¢l nos quedar¨ªa para el n¨²mero que usamos unos p¨¢rrafos m¨¢s arriba, el 34567890:

T ¨C 3 negras ¨C A ¨C Roja ¨C F

F ¨C 4 negras ¨C B ¨C Roja ¨C H

H ¨C 5 negras ¨C T ¨C Roja ¨C T

T ¨C 6 negras ¨C Y ¨C Roja ¨C Z

Z ¨C 7 negras ¨C K ¨C Roja ¨C A

A ¨C 8 negras ¨C B ¨C Roja ¨C H

H ¨C 9 negras ¨C G ¨C Roja ¨C V

V ¨C 0 negras ¨C V -----> Nuestra letra es la V, tal y como hab¨ªamos visto anteriormente.

Veamos otro ejemplo con el n¨²mero de DNI que coincide con la fecha de hoy, 25012017. La secuencia de letras ser¨ªa la siguiente:

T ¨C W ¨C C ¨C W ¨C C ¨C C ¨C Q ¨C V ¨C D ¨C B ¨C H ¨C H ¨C L ¨C C ¨C Q ¨C T

Curiosamente, 25012017 es m¨²ltiplo de 23, por lo que su resto al dividirlo entre 23 es 0. Por tanto, tal y como nos ha dicho nuestro grafo adivinador de letra del DNI, la letra que le corresponde al n¨²mero 25012017 es la T.

Lo que hemos construido es el grafo de divisibilidad del 23, con el que podemos calcular el resto que deja un n¨²mero cualquiera al dividirlo entre 23 siguiendo la regla de las flechas que hemos descrito. Pero esto se puede hacer para cualquier n¨²mero m mayor que 1:

Colocamos los n¨²meros de 0 hasta m ¨C 1 en c¨ªrculo y los unimos en orden con flechas (las negras) hasta cerrar el c¨ªrculo. Despu¨¦s, cada v¨¦rtice k se une con el resto que se obtiene al dividir 10 ¡¤ k entre m (las flechas rojas).

Aunque es evidente, creo que es interesante comentar que estos grafos pueden usarse como "criterios de divisibilidad" entre m: si para un n¨²mero obtenemos resto 0, entonces dicho n¨²mero es m¨²ltiplo de m.

Os animo a que cre¨¦is alguno y a que comprob¨¦is que funciona. Y dicho esto pregunto: ?por qu¨¦ funciona este m¨¦todo? A ver qui¨¦n nos lo explica en los comentarios.