La resoluci¨®n de la c¨²bica: una historia llena de historias

Unos de los temas relacionados con matem¨¢ticas que se tratan durante nuestra vida acad¨¦mica es el de la resoluci¨®n de ecuaciones. Aprendemos a resolver muchos tipos (exponenciales, logar¨ªtmicas, racionales, trigonom¨¦tricas¡­), pero analizando los m¨¦todos de resoluci¨®n podemos concluir que muchas de ellas se reducen a resolver una ecuaci¨®n polin¨®mica. Por tanto, los m¨¦todos de resoluci¨®n de estas ecuaciones polin¨®micas tienen una gran importancia dentro de esta parte de nuestra formaci¨®n matem¨¢tica.

Para resolver estas ecuaciones polin¨®micas, lo primero que se tiene en cuenta es el grado de dicha ecuaci¨®n. Las ecuaciones de grado 1 son sencillas de resolver (operar, separar t¨¦rminos y despejar), y para las de grado 2 tenemos una f¨®rmula que pr¨¢cticamente todos los que hemos pasado por el instituto solemos recordar: menos b m¨¢s menos ra¨ªz cuadrada de¡­ ?Os acord¨¢is? Es ¨¦sta:

?Qu¨¦ ocurre con las de grado 3 y superior? Pues aqu¨ª la cosa se vuelve algo difusa: algunas se resuelven mediante factorizaci¨®n, tambi¨¦n podemos buscar soluciones con Ruffini (muy m¨ªtica la regla de Ruffini), en algunos casos podemos ayudarnos de cambios de variable convenientes (como en las bicuadradas y similares)¡­ Pero el caso es que cuando el grado es mayor o igual que 3 nadie nos da una f¨®rmula tipo la que tenemos para grado 2 que nos d¨¦ las soluciones (si existen) en todos los casos.

?Existen dichas f¨®rmulas para grados superiores a dos? Pues s¨ª¡­para grado 3 y grado 4. Y hoy vamos a hablar de la historia que rodea a la f¨®rmula de resoluci¨®n de la de grado 3: hoy hablamos sobre la resoluci¨®n de la c¨²bica.

Nuestra historia se sit¨²a en el siglo XVI y tiene como protagonistas principales a Niccolo Fontana (apodado Tartaglia por ser tartamudo), Girolamo Cardano, Scipione del Ferro y Ludovico Ferrari y como actores secundarios a Antonio Maria del Fiore y Annibale della Nave. Sobre la d¨¦cada de los 30 de este siglo, llega a o¨ªdos de Tartaglia que un tal del Fiore posee un m¨¦todo para resolver ecuaciones c¨²bicas. En una ¨¦poca como aquella, en la que el inter¨¦s por el ¨¢lgebra estaba creciendo de manera significativa entre los matem¨¢ticos en Europa, poseer un m¨¦todo para resolver estas ecuaciones resultaba valios¨ªsimo. Por ello, espoleado por la posibilidad de que dicho m¨¦todo pudiera existir, Tartaglia se puso a trabajar en el tema, encontrando tal m¨¦todo por s¨ª mismo (al menos eso parece) un tiempo despu¨¦s.

En aquella ¨¦poca, era habitual organizar desaf¨ªos entre matem¨¢ticos en los que cada uno propon¨ªa problemas que el otro ten¨ªa que resolver. Pues a ra¨ªz del trabajo de Tartaglia, se organiz¨® uno que lo enfrentaba a del Fiore, resultando Tartaglia ganador de manera aplastante (resolvi¨® todos los problemas propuestos por del Fiore, mientras que este no fue capaz de resolver ninguno de los que le tocaron).

Cuando Cardano tuvo conocimiento de esta aplastante victoria de Tartaglia, intenta convencerlo para que le revele el m¨¦todo que hab¨ªa descubierto y as¨ª poder publicarlo en su obra Ars Magna, que estaba preparando en aquellos a?os. Aunque Tartaglia se niega en primera instancia, al final le revela su descubrimiento con la condici¨®n de que no lo publique (aunque, al parecer, Cardano estaba dispuesto a otorgarle a Tartaglia en su obra la autor¨ªa del descubrimiento).

Lo que Tartaglia hab¨ªa descubierto eran m¨¦todos para resolver las ecuaciones c¨²bicas que no tienen t¨¦rmino de grado dos. Aunque en la actualidad todas ellas se reducen a una ¨²nica forma, en aquella ¨¦poca se expresaban de estas tres maneras, x³+px=q, x³=px+q y x³+q=px, y cada una ten¨ªa su propio m¨¦todo de resoluci¨®n (los n¨²meros negativos todav¨ªa no se aceptaban con demasiada naturalidad). A partir de estos m¨¦todos, Cardano y su ayudante Ludovico Ferrari consiguen un m¨¦todo para resolver la c¨²bica general x³+mx²+nx=r.?Esta ecuaci¨®n puede reducirse f¨¢cilmente a una del tipo x³+px=q, por lo que solamente har¨ªa falta resolver ¨¦sta. Sus soluciones vienen dadas por la siguiente expresi¨®n:

Aunque parece que solamente tenemos un valor, en realidad esta expresi¨®n representa los tres valores de las tres soluciones de la c¨²bica general. Sin entrar en demasiados detalles, lo m¨¢s interesante de ellos, y tremendamente novedoso en aquella ¨¦poca, es que en ocasiones dos de las soluciones conten¨ªan ra¨ªces cuadradas de n¨²meros negativos, dando lugar a lo que hoy conocemos como n¨²meros complejos.

Y aqu¨ª viene la clave de la historia: del Fiore conoc¨ªa el m¨¦todo de resoluci¨®n porque Scipione del Ferro, profesor suyo, se lo hab¨ªa comunicado a?os antes. Es decir, del Ferro fue el primero (que se sepa) que cre¨® un m¨¦todo de resoluci¨®n para una c¨²bica. En 1542, Cardano y Ferrari viajan a Bolonia en busca de los trabajos de del Ferro, y es Della Nave (yerno de del Ferro) quien se los proporciona.

Al verlos, Cardano comprueba que el m¨¦todo de del Ferro para resolver la c¨²bica x³+px=q era el mismo que el de Tartaglia, por lo que entiende que la promesa que le hab¨ªa hecho este de no publicar su descubrimiento ya no tiene validez. Cardano publica el m¨¦todo de del Ferro en Ars Magna en 1545, y Tartaglia entra en c¨®lera. Aunque Cardano lo nombra varias veces en su obra, Tartaglia se siente traicionado¡­

¡­y responde publicando un a?o despu¨¦s un libro con su m¨¦todo y con ataques a Cardano. Este no responde a dichos ataques, pero s¨ª lo hace Ferrari. Este enfrentamiento acaba con un nuevo ¡°duelo matem¨¢tico¡± entre Tartaglia y Ferrari que se convierte en un aut¨¦ntico fen¨®meno social. Durante el duelo se produce una discusi¨®n por uno de los problemas, lo que lleva a aplazarlo al d¨ªa siguiente. Pero Tartaglia, al parecer por el apoyo de la multitud a Ferrari, no se presenta, por lo que Ludovico es declarado ganador.

Y podemos decir que, b¨¢sicamente, aqu¨ª acaba todo. Como todas las historias, esta todav¨ªa plantea algunos interrogantes que, posiblemente, nunca podamos resolver. Por ejemplo, poseer un m¨¦todo de resoluci¨®n de la c¨²bica proporcionaba mucha ventaja en los duelos entre matem¨¢ticos, en los que en ocasiones se pod¨ªan conseguir jugosas recompensas. Se entiende que del Ferro le comunicara a della Nave su descubrimiento (era su yerno), pero lo que no se sabe es por qu¨¦ tambi¨¦n se lo comunic¨® a del Fiore. Y otra pregunta sin respuesta es si Tartaglia de verdad desarroll¨® ¨¦l mismo su m¨¦todo o ¡°se inspir¨®¡± en trabajos anteriores, atribuy¨¦ndose despu¨¦s la autor¨ªa. Como dec¨ªa, es posible que nunca tengamos respuesta a estas y otras preguntas.

Para terminar, es interesante comentar que en Ars Magna tambi¨¦n se public¨® un m¨¦todo para resolver las ecuaciones de grado cuatro. Dicho m¨¦todo, desarrollado por Ferrari, consiste en reducir (de una manera muy inteligente) la ecuaci¨®n de grado cuatro a una c¨²bica, y despu¨¦s resolver dicha c¨²bica. Con ello cerramos tambi¨¦n el c¨ªrculo con las ecuaciones de grado cuatro.

?Qu¨¦ ocurre con las de grado 5 y superior? Pues que no hay f¨®rmula general para resolverlas. Todo lo relacionado con este descubrimiento es tambi¨¦n muy interesante y merece la pena contarlo, pero eso ser¨¢ ya otro d¨ªa.