El enigma del 196

Las curiosidades num¨¦ricas han fascinado a much¨ªsimos matem¨¢ticos (y no matem¨¢ticos) desde la antig¨¹edad. Algunas involucran solamente a los n¨²meros primos, otras hablan exclusivamente de n¨²meros compuestos; algunas tienen como protagonistas a las potencias de algunos n¨²meros y otras se refieren a alguna colocaci¨®n concreta de sus d¨ªgitos (sirva el problema de la constante de Kaprekar, 6174, como ejemplo).

De entre todas ellas, desde siempre me han gustado las que est¨¢n relacionadas con los n¨²meros capic¨²as, esos n¨²meros (tambi¨¦n denominados pal¨ªndromos) que son iguales tanto si los leemos de izquierda a derecha como si lo hacemos de derecha a izquierda: 55, 141, 34543¡­

Y os aseguro que no soy el ¨²nico que se siente admirado por todas las curiosidades que rodean a este tipo de n¨²meros, hasta matem¨¢ticos profesionales se han dedicado a estudiarlos. Es posible que el estudio de alto nivel m¨¢s interesante que pod¨¦is encontrar sea un resultado demostrado por Javier Cilleruelo, colaborador habitual de El Pa¨ªs cuyo fallecimiento el pasado a?o 2016 entristeci¨® enormemente a toda la comunidad matem¨¢tica. ¡°Cille¡± demostr¨® que todo numero entero positivo puede escribirse como suma de tres n¨²meros capic¨²as, bajando dr¨¢sticamente la cantidad necesaria de capic¨²as, que anteriormente estaba en 49, y dando una demostraci¨®n constructiva (esto es, explicando constructivamente c¨®mo encontrar esos tres n¨²meros capic¨²as para un entero positivo cualquiera). Sencillamente maravilloso.

En el art¨ªculo de hoy no vamos a aspirar a llegar a cotas tan altas como las que alcanz¨® Javier, pero s¨ª vamos a hablar de una curiosa conjetura relacionada con n¨²meros capic¨²as y que, a d¨ªa de hoy, sigue sin demostrarse ni refutarse. Me refiero a la existencia de los n¨²meros de Lychrel.

Veamos de qu¨¦ trata el asunto. Tomamos un n¨²mero entero positivo cualquiera, por ejemplo el 47, invertimos el orden de sus d¨ªgitos y sumamos:

47+74=121

En un solo paso nos ha salido un n¨²mero capic¨²a. Probemos con otro, digamos el 75:

75+57=132

En este caso no obtenemos un capic¨²a en el primer paso. Sigamos con el proceso con el n¨²mero obtenido, el 132:

132+231=363

Partiendo del 75, hemos obtenido un n¨²mero capic¨²a en dos pasos. Uno m¨¢s, el 165:

165+561=726

726+627=1353

1353+3531=4884

Aqu¨ª hemos necesitado tres pasos. Y un ¨²ltimo ejemplo, el 89:

89+98=187

187+781=968

968+869=1837

1837+7381=9218

9218+8129=17347¡­

Despu¨¦s de cinco pasos todav¨ªa no hemos encontrado el n¨²mero capic¨²a, pero pod¨¦is estar tranquilos: realizando la inusual cantidad de 24 pasos aparece el capic¨²a

8813200023188

con lo que cerramos el c¨ªrculo del 89. Y digo que la cantidad de pasos es ¡°inusual¡± porque es el que m¨¢s pasos necesita para llegar al capic¨²a entre todos los enteros positivos menores de 10000¡­

¡­si es que podemos palindromizar todos esos n¨²meros. Porque, queridos lectores, aqu¨ª llega la conjetura que anunciaba unos p¨¢rrafos m¨¢s arriba: existen n¨²meros para los cuales no se sabe si terminan en capic¨²a al aplicar este proceso. Y, como adelantaba el t¨ªtulo de este art¨ªculo, no hay que avanzar demasiado en la lista de enteros positivos para encontrar el primero: el 196.

El 196 es el n¨²mero m¨¢s peque?o sospechoso de ser un n¨²mero de Lychrel

Los enteros positivos (en base 10) que no se pueden palindromizar se denominan n¨²meros de Lychrel. El nombre se lo puso Wade VanLandingham, uno de los principales estudiosos de estos n¨²meros, y es un anagrama ¡°aproximado¡± de Cheryl? el nombre de su novia. La cuesti¨®n, como coment¨¢bamos antes, es que no se sabe si existe alg¨²n n¨²mero de Lychrel. Lo ¨²nico que tenemos son candidatos, y, como dec¨ªamos, el 196 es el m¨¢s peque?o de todos ellos:

196+691=887

887+788=1675

1675+5761=7436

7436+6347=13783

13783+38731=52514

52514+41525=94039

94039+93049=187088

187088+880781=1067869

1067869+9687601=10755470

10755470+07455701=18211171

Tras diez pasos del proceso, ni rastro del deseado capic¨²a. Y pod¨¦is seguir¡­aunque no os lo recomiendo, al menos sin la ayuda de un ordenador y un buen programa. Para quien quiera probar, aqu¨ª ten¨¦is una web en la que met¨¦is un n¨²mero y obten¨¦is el capic¨²a que queda al finalizar el proceso¡­si este capic¨²a sale en menos de 500 pasos, que es el l¨ªmite de dicha web. Para el 196, el resultado obtenido despu¨¦s de estos 500 pasos es esta cosica que os dejo aqu¨ª:

que, como pod¨¦is observar, dista mucho de ser capic¨²a.

Dec¨ªa que no os aconsejo seguir el proceso de invertir y sumar sin la ayuda de un ordenador y un programa eficiente, pero en realidad ni as¨ª es recomendable. Y la raz¨®n es que, hasta donde yo s¨¦ (a?o 2015), para el 196 se ha llegado a un n¨²mero de mil millones de d¨ªgitos sin encontrar el tan buscado capic¨²a. Teniendo en cuenta que, en una investigaci¨®n anterior a ¨¦sta, se lleg¨® a un n¨²mero con 413930770 d¨ªgitos (menos de la mitad del ¡°r¨¦cord¡±) despu¨¦s de mil millones de pasos, no me quiero imaginar cu¨¢ntos pasos fueron necesarios para alcanzar ese bill¨®n estadounidense de d¨ªgitos.

Es interesante comentar que el 196 no es ni mucho menos el ¨²nico del que se sospecha que pueda ser un n¨²mero de Lychrel, aunque es el que m¨¢s inter¨¦s suscita por ser el m¨¢s peque?o de estos sospechosos. Otros de los que no se sabe si llegan a un capic¨²a son el 295, el 394, el 493 o el 592. En la OEIS hay, como no pod¨ªa ser de otra forma, una secuencia, la A023108, dedicada a estos posibles n¨²meros de Lychrel.

Y tambi¨¦n merece la pena mencionar que hay bases de numeraci¨®n para las que s¨ª se conoce la existencia de n¨²meros de Lychrel. Concretamente, para base 2 se sabe que el n¨²mero 10110 (22 en base 10) es un n¨²mero de Lychrel; y para base 4 se ha demostrado que el n¨²mero 3333 (255 en base 10) tambi¨¦n pertenece a este curioso tipo de n¨²meros.

Para terminar, creo que es conveniente apuntar que las ¨²nicas investigaciones sobre los n¨²meros de Lychrel de las que tengo constancia se centran en la fuerza bruta, es decir, en buscar el capic¨²a utilizando un programa de ordenador que vaya realizando las operaciones de invertir y sumar y compruebe en cada paso si se ha llegado al pal¨ªndromo. Cierto es que estos programas pueden refinarse para ser m¨¢s eficientes y as¨ª poder realizar m¨¢s operaciones en menos tiempo, pero no servir¨ªan de nada en el caso de que ese capic¨²a no exista. No conozco trabajos te¨®ricos sobre estos n¨²meros, de hecho ni siquiera s¨¦ si los hay. Si alguien que pase por este art¨ªculo tiene informaci¨®n sobre ello, estar¨¦ muy agradecido si la comparte con nosotros en los comentarios.