Fermat, Pascal y los inicios de la probabilidad moderna

Desde el porcentaje de que llueva o nieve un d¨ªa concreto en una zona determinada hasta la idoneidad de apostar o no seg¨²n la mano de p¨®ker que llevemos, pasando por las cuotas a favor o en contra de la victoria de un cierto equipo y muchos otros fen¨®menos f¨ªsicos o econ¨®micos. Gran parte de los datos que nos encontramos a diario en muchos ¨¢mbitos est¨¢n basados en el c¨¢lculo de probabilidades.

En 1933, Andr¨¦i Kolmog¨®rov establec¨ªa la que se conoce como concepci¨®n axiom¨¢tica de probabilidad, dando rigor de esta forma a muchos de los estudios que se hab¨ªan realizado con anterioridad en esta rama y comenzando as¨ª el estudio moderno de la teor¨ªa de probabilidades. Pero el estudio de la probabilidad comenz¨® mucho antes, y se puede decir que los precursores de esta teor¨ªa fueron Pierre de Fermat y Blaise Pascal.

Nos remontamos al siglo XVII. La teor¨ªa de n¨²meros da sus primeros pasos como rama de las matem¨¢ticas gracias a Pierre de Fermat, y la geometr¨ªa anal¨ªtica hace su aparici¨®n en las matem¨¢ticas apoyada en los estudios del propio Fermat y de Ren¨¦ Descartes. Al margen de todo esto, la alta sociedad francesa se entretiene con juegos de azar.

Uno de sus integrantes, Antoine Gombaud, Caballero de M¨¦r¨¦, era un experto jugador (aparte de escritor y pensador). A pesar de su sabidur¨ªa en lo que a juegos de azar se refer¨ªa, hab¨ªa dos que le creaban dudas, que no entend¨ªa completamente. Por ello, decidi¨® plante¨¢rselos a Pascal.

El primero que vamos a comentar es el siguiente. Supongamos que tiramos un dado cuatro veces y pensemos en la probabilidad de que salga al menos un 6 en alguna de las tiradas (da igual en cu¨¢l de ellas). La cuesti¨®n es la siguiente: ?nos conviene apostar a que saldr¨¢ al menos un 6? Ve¨¢moslo con matem¨¢ticas.

Vamos a calcular la probabilidad de que no salga ning¨²n 6 en ninguna de las tiradas, y el resultado se lo restaremos a 1, obteniendo as¨ª la probabilidad de que salga al menos un 6.

La probabilidad de que no salga un 6 en una tirada es 5/6 (cinco valores que no son 6 entre seis valores posibles), y como tiramos cuatro veces (y las tiradas son independientes), la probabilidad de que no salga ning¨²n 6 en esas cuatro tiradas es:

(5/6) ¡¤ (5/6) ¡¤ (5/6) ¡¤ (5/6) = (5/6)4

Ahora la probabilidad de que salga al menos un 6 saldr¨¢ de restar ese resultado a 1:

P(Al menos un 6) = 1-(5/6)4=0¡¯5177¡­

Como nos sale un resultado mayor que 0¡¯5, nos conviene apostar a que saldr¨¢ al menos un 6 en cuatro tiradas de un dado.

Gombaud sab¨ªa que esa apuesta era ligeramente favorable que la contraria (aunque seguro que no hizo los c¨¢lculos como hemos mostrado aqu¨ª), y a partir de aqu¨ª se plante¨® qu¨¦ ocurrir¨ªa al tirar dos dados y esperar que en ambos salga 6 al menos una vez. Su razonamiento fue algo parecido a lo siguiente:

¡°La probabilidad de sacar 6 en ambos dados (en una tirada) es igual a multiplicar por 1/6 la probabilidad de sacar un 6 con un dado en una tirada. Por tanto, para igualar la situaci¨®n al problema anterior habr¨ªa que hacer 4 ¡¤ 6 = 24 tiradas. As¨ª conseguimos un problema en el que la probabilidad de sacar 6 en ambos dados al menos una vez es la misma que la de sacar un 6 al menos una vez en el caso anterior, por lo que interesa apostar a favor de ese hecho.¡±

El caso es que nuestro caballero de M¨¦re, a pesar de que aparentemente la apuesta era favorable, ve¨ªa que a la larga perd¨ªa m¨¢s veces que ganaba. Vamos, que la apuesta no parec¨ªa tan favorable, pero no sab¨ªa por qu¨¦. ?Podr¨ªas ayudar t¨² a Antoine? Pi¨¦nsalo, m¨¢s adelante daremos la respuesta.

El segundo problema es, bajo mi punto de vista, m¨¢s interesante. Os pongo en situaci¨®n:

Imaginemos que dos jugadores A y B juegan con una moneda, tir¨¢ndola y viendo lo que sale en ella. Si sale cara, A acumula un punto, y si sale cruz lo acumula el jugador B. Ambos han apostado 32 € y gana el jugador que antes llegue a 5 puntos, llev¨¢ndose entonces todo el dinero (al parecer, el problema trataba de tirar un dado y cada uno hab¨ªa elegido un n¨²mero concreto, pero para ilustrar el problema nos vale nuestro ejemplo). Por circunstancias que no vienen al caso, hay que interrumpir el juego antes de que uno de los jugadores gane, estando en ese momento el marcador as¨ª: A lleva 4 puntos y B lleva 3 puntos. La cuesti¨®n es la siguiente: ?c¨®mo debe repartirse el dinero?

Este problema hab¨ªa sido estudiado anteriormente por Luca Pacioli y por Tartaglia, pero ambos dieron respuestas err¨®neas. Nuestro caballero de M¨¦re se lo propuso a Pascal, que lo puso en conocimiento de Fermat mediante correspondencia. En esa correspondencia entre estos dos monstruos de las matem¨¢ticas se resolvi¨® este problema y, de paso, se cre¨® el germen de la teor¨ªa del c¨¢lculo de probabilidades.

Pero vayamos al problema en s¨ª. La primera idea, en cierto modo razonable, ser¨ªa repartir el dinero total, 64 €, en proporci¨®n seg¨²n los puntos que llevan cada uno de ellos en el momento en el que el juego se corta. Como en ese momento A lleva 4 puntos y B lleva 3 puntos, habr¨ªa que dividir 64 entre 7 y dar 4 partes a A y 3 partes a B¡­

¡­el problema es que este razonamiento no da un resultado justo. Por ejemplo, imaginad que s¨®lo se ha hecho una tirada y ha salido cara. Entonces A lleva un punto¡­y las circunstancias obligan a terminar ah¨ª el juego. Seg¨²n el razonamiento anterior, A deber¨ªa llevarse todo el dinero, lo que ser¨ªa a todas luces injusto.

El reparto m¨¢s justo (y, por tanto, el correcto) debe ir en funci¨®n de la probabilidad que tendr¨ªa cada uno de ganar el juego si ¨¦ste no se hubiera interrumpido. Vamos a analizar cu¨¢les ser¨ªan las probabilidades de cada uno y las usaremos despu¨¦s para repartir el dinero correctamente.

Como dec¨ªamos, el jugador A lleva 4 puntos y el B lleva 3 puntos, y gana el primero que llegue a 5 puntos. Si en la siguiente tirada hubiera salido una cara, el jugador A llegar¨ªa a 5 puntos y, por tanto, ganar¨ªa. La probabilidad de que ocurra eso es la probabilidad de que salga cara en una tirada: 1/2.

Si hubiese salido cruz, el jugador B sumar¨ªa 4 puntos. Como el A tambi¨¦n lleva 4, todav¨ªa no ha ganado nadie, por lo que hay que tirar de nuevo. Si en esa segunda tirada sale cara, gana el A, y esto ocurre con probabilidad

(1/2) ¡¤ (1/2) = 1/4 (el primer 1/2 por la cruz y el segundo por la ¨²ltima cara)

Y si en la segunda tirada sale cruz, gana el jugador B. La probabilidad de que eso ocurra es tambi¨¦n

(1/2) ¡¤ (1/2) = 1/4 (el primer 1/2 por la primera cruz y el segundo por la ¨²ltima cruz)

Analizando estos casos, vemos que la probabilidad de que gane A es:

P(Gana A)=1/2 + 1/4 = 3/4

Y la probabilidad de que el ganador sea B es:

P(Gana B)=1/4

Entonces debemos dividir el dinero total en cuatro partes y darle tres a A y una a B. Por tanto, al jugador A le corresponden 48 € y al B le deben dar 16 €.

Volvamos ahora al primer problema. ?Lo has resuelto? Razonando como en el caso de una sola tirada de dado seguro que s¨ª. Pero por si acaso vamos a comentarlo.

Vamos a calcular la probabilidad de que no salga el resultado (6,6), y despu¨¦s, como antes, le restaremos esa probabilidad a 1. Como el resultado (6,6) puede darse solamente en 1 de los 36 casos posibles, y tiramos el dado 24 veces, tenemos que:

P(No salga (6,6)) = (35/36)24

Ahora le restamos ese valor a 1 y obtenemos la probabilidad de que salga (6,6) al menos una vez en 24 tiradas:

P(Al menos sale (6,6) una vez en 24 tiradas) = 1 ¨C (35/36)24 = 0¡¯4914¡­

Lo que significa, al ser menor que 0¡¯5, que apostar a ese resultado es, a la larga, perjudicial para el jugador.

Como ya hemos comentado, Pascal y Fermat comentaron y dieron soluci¨®n a estos problemas en la correspondencia que se gener¨® entre ambos (Fermat, sobre todo, era mucho de comunicarse con otros matem¨¢ticos por correspondencia) despu¨¦s de que el caballero de M¨¦re se los propusiera a Pascal. Aqu¨ª ten¨¦is traducciones al ingl¨¦s de parte de esa correspondencia, aunque por desgracia no todas las cartas han llegado a nuestros d¨ªas. El responsable de formalizar todos estos argumentos fue Christiaan Huygens, que tuvo conocimiento de esta correspondencia sobre 1655. En 1657 public¨® el tratado De Ratiociniis in Ludo Aleae (Calculando en juegos de azar), escrito en el que resolv¨ªa los problemas sobre probabilidades que circulaban en aquella ¨¦poca. Este tratado se convirti¨® en el primero trabajo publicado sobre c¨¢lculo de probabilidades.

Como hab¨¦is podido ver, el simple planteamiento de un problema pr¨¢ctico por parte de Antoine Gombaud, caballero de M¨¦re, acab¨® dando lugar a toda una teor¨ªa matem¨¢tica con multitud de usos y aplicaciones. Y no es el ¨²nico caso, recordad el caso de los puentes de K?nigsberg y la teor¨ªa de grafos. Por ello, no debemos restarle importancia a ninguno de los problemas que se nos puedan ocurrir o que nos puedan aparecer, ya que nunca se sabe la importancia que pueden llegar a tener o las aplicaciones que se les puede encontrar.