Curvas que separan: f¨¢cil de entender, dif¨ªcil de demostrar

En lo que se refiere a enunciados y demostraciones, el mundo de los teoremas matem¨¢ticos es de lo m¨¢s variado. Los hay con enunciados cortitos y enunciados largos, y los podemos encontrar con formulaciones muy claras y sencillas de explicar y con formulaciones bastante complejas. Y en lo que se refiere a las demostraciones, hay de todo: bellas, farragosas, cortitas, insufriblemente largas, geom¨¦tricas, anal¨ªticas¡­Lo que dec¨ªamos, de todo.

El caso es que en matem¨¢ticas todo resultado propuesto se tiene que demostrar para que se considere correcto. Pero es cierto que algunos teoremas son tan claros e intuitivos que parece que no necesitan demostraci¨®n para afirmar su veracidad. Hoy vamos a hablar de, posiblemente, el caso m¨¢s claro y representativo de este tipo de resultados: el teorema de la curva de Jordan. El enunciado de este teorema es de lo m¨¢s simple, intuitivo y sencillo de explicar y comprender, pero, por contra, las demostraciones que se conocen de ¨¦l son largas, complejas y t¨¦cnicas o necesitan de utilizar alguna teor¨ªa muy avanzada.

Antes de enunciar este teorema, vamos a introducir el problema poco a poco. Toma papel y boli y dibuja una curva cerrada y que no se corte a s¨ª misma. S¨ª, la que quieras, puede ser muy sencillita, como una circunferencia, o m¨¢s ¡°compleja¡±, como la que veis en la imagen. Est¨¢ m¨¢s o menos claro que dicha curva deja una porci¨®n del papel ¡°dentro¡± de la misma y otra porci¨®n ¡°fuera¡± de la misma, y que esas dos porciones no tienen nada en com¨²n, ?verdad? Y que el borde de ambas porciones es la propia curva que hab¨¦is dibujado, ?verdad? Bien, pues ¨¦se es el teorema de la curva de Jordan.

Antes de seguir, vamos a fijarnos en los puntos que hay marcados en la imagen. ?Sabr¨ªas decir cu¨¢les de ellos est¨¢n ¡°dentro¡± de la curva y cu¨¢les est¨¢n ¡°fuera¡± de la curva? En este caso la cosa es sencilla de ver, pero quiz¨¢s no ser¨ªa tan sencillo si la curva fuera mucho m¨¢s larga, estuviera dibujada en un papel a mayor tama?o y tuviera muchos m¨¢s giros y complicaciones. La pregunta es, entonces, la siguiente: ?sabr¨ªas dar alg¨²n procedimiento que nos asegure, sin ning¨²n g¨¦nero de duda, si un punto est¨¢ ¡°dentro¡± o ¡°fuera¡± de la curva? Responderemos m¨¢s adelante.

Al parecer, el primero que formul¨® este resultado fue el matem¨¢tico franc¨¦s Camille Jordan a finales del siglo XIX. El propio Jordan present¨® una demostraci¨®n del mismo, pero result¨® ser incorrecta. El primero que dio una demostraci¨®n correcta de este teorema fueOswald Veblen en 1905. El teorema de la curva de Jordan puede enunciarse de manera informal (en el sentido de que me voy a ahorrar algunos detalles t¨¦cnicos) como sigue:

Toda curva cerrada representada en un plano que no se corte a s¨ª misma divide el plano en dos regiones sin puntos comunes: la ¡°interior¡± (acotada) y la ¡°exterior¡± (no acotada). Adem¨¢s, el borde de ambas regiones es la propia curva.

Plante¨¢dselo a cualquier persona, tenga formaci¨®n matem¨¢tica o no. Estoy seguro de que lo entender¨¢ sin mucho esfuerzo y, adem¨¢s, lo ver¨¢ absolutamente evidente. De hecho, es posible que alguien que entienda que los teoremas hay que demostrarlos piense que en este caso ni siquiera har¨ªa falta, que la cosa es tan tan evidente que no podr¨ªa no ser cierta. O, en el caso de asumir que hay que demostrarlo, pensar¨ªa que la demostraci¨®n debe ser bastante sencilla¡­

¡­pues no es as¨ª: las demostraciones que se conocen de este teorema son realmente complicadas. Algunas son muy largas y muy t¨¦cnicas, y otras m¨¢s cortas lo son porque usan teor¨ªas muy potentes y avanzadas, por lo que en realidad tambi¨¦n son muy complicadas y t¨¦cnicas. De ¨¦stas ¨²ltimas no vamos a comentar nada m¨¢s, pero de las primeras s¨ª.

La demostraci¨®n larga y t¨¦cnica de la que tengo conocimiento usa como idea inicial el tema que os planteaba antes como ejercicio. ?C¨®mo saber si un punto est¨¢ ¡°dentro¡± de una curva o ¡°fuera¡± de la misma? Pues hay un procedimiento relativamente simple para verlo: cortes transversales.

Una recta corta transversalmente a una curva si dicha no es tangente a la curva en ese punto de corte. En la siguiente imagen pod¨¦is ver un corte transversal y uno que no lo es:

Bien, pues podemos utilizar esto para determinar si un punto est¨¢ en el interior o en el exterior de la curva. Desde el punto, trazamos una semirrecta hacia una zona que sepamos con seguridad que est¨¢ en el exterior de la curva y contamos cu¨¢ntos cortes transversales hay (si hay alguno tangente no lo contamos). Si el n¨²mero de cortes transversales es par, el punto estaba en el exterior de la curva, y si es impar entonces el punto estaba en el interior de la curva. Os animo a que prob¨¦is este sencillo m¨¦todo en la imagen anterior o en la curva que vosotros mismos hab¨¦is dibujado antes.

Pues ¨¦sta es la clave de la demostraci¨®n que os comentaba. La idea es definir dos conjuntos:

A={puntos para los cuales toda semirrecta trazada desde ellos corta transversalmente a la curva un n¨²mero impar de veces}

B={puntos para los cuales toda semirrecta trazada desde ellos corta transversalmente a la curva un n¨²mero par de veces}

Y demostrar (y aqu¨ª est¨¢ lo verdaderamente complicado) que en ambos conjuntos hay puntos, que no tienen puntos comunes y que su uni¨®n nos da el plano completo excepto la propia curva inicial. Parece f¨¢cil, pero os aseguro que no lo es.

Y ahora la pregunta es natural: ?qu¨¦ ocurre en otras dimensiones? Pues para curvas hay una generalizaci¨®n a cualquier dimensi¨®n denominada teorema de separaci¨®n de Jordan-Brouwer, pero para superficies la cosa falla, por ejemplo, en tres dimensiones (ahora mismo no tengo conocimiento sobre lo que ocurre en dimensiones mayores). Para quien est¨¦ interesado, aqu¨ª ten¨¦is un art¨ªculo que escrib¨ª hace un tiempo sobre un contraejemplo en tres dimensiones: la esfera cornuda de Alexander.

Como coment¨¦ unos p¨¢rrafos m¨¢s arriba, es cierto que me he saltado mucho detalles t¨¦cnicos, tanto en las definiciones como, evidentemente, en la demostraci¨®n. Este resultado es cierto para toda curva que pueda deformarse, sin romperla, hasta una circunferencia (estas curvas se denominan curvas de Jordan), pero entre ellas hay casos extra?os que son dif¨ªciles de analizar: curvas con picos, puntos desde los cuales se pueden trazar semirrectas que cortan transversalmente a la curva infinitas veces (por lo que habla de par o impar no tiene sentido) y algunas otras situaciones complicadas de estudiar. Posiblemente todo esto sea lo que provoque que las demostraciones sean tan engorrosas: no debe ser f¨¢cil pasar por encima de tanto caso patol¨®gico¡­