La independencia (estad¨ªstica) no tiene memoria

Apreciado lector, voy a ponerte en una situaci¨®n hipot¨¦tica y voy a pedirte que pienses en lo que har¨ªas. Imagina que, delante de ti, tiro una moneda 15 veces y en todas ellas obtengo cara. Antes de la siguiente tirada, te pido que apuestes por uno de los posibles resultados: cara o cruz (suponemos que la moneda no puede caer de canto). ?Qu¨¦ elegir¨ªas, cara o cruz?

Mientras piensas tu respuesta, y el razonamiento que te ha llevado hasta ella, voy a contarte una historia. Remont¨¦monos algo m¨¢s de 100 a?os, concretamente al 18 de agosto de 1913, y situ¨¦monos nada menos que en el casino de Montecarlo. En una de sus ruletas se produce una situaci¨®n cuando menos curiosa: en una cierta jugada la bola cae en negro, en la siguiente vuelve a caer en negro, y lo mismo en la siguiente, y en la posterior¡­??y as¨ª hasta 26 veces!! En 26 tiradas consecutivas la bola ¡°eligi¨®¡± un n¨²mero correspondiente al color negro para asentarse. Si hubieses estado all¨ª, ?por qu¨¦ color habr¨ªas apostado en la siguiente tirada?

Estad¨ªsticamente hablando, ambas situaciones pueden considerarse an¨¢logas en el sentido de que, en cada tirada, tenemos dos posibles resultados con exactamente la misma probabilidad (para simplificar el asunto, y para que quede m¨¢s clara la idea que quiero transmitir con este art¨ªculo, vamos a eliminar la posibilidad de que la bola caiga en el cero, que en la ruleta no es ni rojo ni negro).

Vamos con la pregunta de la moneda. Quiz¨¢s pienses que lo mejor ser¨ªa elegir cruz para la siguiente tirada, o puede que creas que lo mejor es elegir cara. En realidad, si la moneda no est¨¢ trucada, ambas opciones tienen la misma probabilidad de salir, independientemente de lo que haya salido en las tiradas anteriores. Y la clave es el concepto que acabamos de utilizar: independencia. Cada tirada es independiente de las anteriores, por lo que no est¨¢ influida por lo que haya salido antes. Vamos, que la moneda no recuerda lo que sali¨® en anteriores tiradas.

Pero han salido muchas caras seguidas, lo m¨¢s probable es que en la siguiente salga cruz, ?no? Pues no. Cierto es que ¡°a la larga¡±, las frecuencias de cara y cruz tender¨¢n a igualarse, pero, repito, ¡°a la larga¡±, despu¨¦s de much¨ªsimas tiradas. En principio, y siempre suponiendo que la moneda no est¨¢ trucada, en cada tirada es igual de probable que salga cara o que salga cruz, sin que los resultados obtenidos en tiradas anteriores tengan ninguna influencia sobre lo vaya a salir despu¨¦s.

Lo habitual es que mucha gente, ante este sencillo juego, tienda a decir que es m¨¢s probable que salga cruz porque, al ser 50-50, el n¨²mero de caras y cruces acabar¨¢ siendo igual (o, al menos, muy parecido). Esto, que se conoce como la falacia del jugador, tampoco es cierto. Una cosa es que la frecuencia tienda a igualarse y otra es que el n¨²mero de caras y cruces tambi¨¦n lo haga.

Para ver que esto no tiene por qu¨¦ ser as¨ª, echad un ojo al siguiente caso. Imaginad que hemos tirado la moneda 1000 veces, y hemos obtenido 578 caras y 422 cruces. Tendr¨ªamos entonces una frecuencia de 578/1000=0¡¯578 para cara y una frecuencia de 422/1000=0¡¯422 para cruces, y la diferencia entre el n¨²mero de caras y cruces ser¨ªa 578-422=156. Seguimos tirando, llegamos a las 10000 tiradas y supongamos que obtenemos 5311 caras y 4689 cruces. En este caso, las frecuencias de ambas se van igualando y se acercan m¨¢s que antes al ¡°esperado¡± 0¡¯5 (concretamente, 0¡¯5311 para cara y 0¡¯4689 para cruz), pero la diferencia entre el n¨²mero de caras y cruces, que ahora es 5311-4689=622, ha crecido sensiblemente. Por tanto, que las frecuencias tiendan a ser iguales ni significa, ni mucho menos, que el n¨²mero de apariciones de cada uno de los dos posibles resultados tienda tambi¨¦n a ser igual.

Si no est¨¢n trucadas, ni la moneda ni la ruleta recuerdan lo que sali¨® en otras jugadas, cada tirada es independiente de las anteriores.

Y lo mismo pasa con el ejemplo del casino de Montecarlo. Partiendo de que la ruleta no est¨¢ trucada (y quitando la influencia del 0), el rojo y el negro tienen la misma probabilidad de salir (hay 18 n¨²meros rojos y 18 n¨²meros negros), y la ruleta no recuerda lo que sali¨® en tiradas anteriores, por lo que no hay ninguna raz¨®n para pensar que en una tirada concreta es m¨¢s probable que salga un color porque en las anteriores sali¨® el otro.

Cuando comenz¨® a salir negro tantas veces seguidas, la gente comenz¨® a pensar que el rojo deb¨ªa salir ya para comenzar a ¡°igualar¡± el n¨²mero de rojos y negros, con lo que las apuestas al rojo comenzaron a crecer. Pero eso no ocurri¨® en 26 tiradas consecutivas. ?Conclusi¨®n? El casino gan¨® un mont¨®n de pasta en ese rato.

Como dec¨ªamos antes, la clave de todo esto es la independencia estad¨ªstica. En ambos casos, cada tirada (de moneda o de ruleta) es independiente de la anterior o anteriores, no est¨¢ influida por ellas, por lo que, por decirlo de alguna manera, en cada tirada partimos desde cero. Y hay muchos otros casos en los que esto ocurre, y por ello, en ciertas situaciones, no debemos dejarnos llevar por las apariencias o por las intuiciones. Debemos analizar ciertas cosas con una buena perspectiva estad¨ªstica, porque si no es as¨ª posiblemente acabemos enga?ados y, si hablamos de juegos de azar, sin blanca.

Y, para finalizar, un peque?o apunte. Volvamos a, por ejemplo, el caso de la ruleta. Despu¨¦s de tantas tiradas saliendo negro, no ser¨ªa descabellado pensar que la ruleta est¨¢ trucada de alguna forma para que salga m¨¢s el negro que el rojo, por lo que, pensando mal, tendr¨ªa m¨¢s sentido volver a apostar al negro que apostar al rojo. Pero todos sabemos que en los juegos de azar ese tipo de cosas, esos trucajes, no ocurren, ?verdad?

Seguro que a algunos de vosotros se os ocurren otros ejemplos parecidos a los dos que he comentado en el art¨ªculo. Habladnos sobre ellos en los comentarios, os lo agradeceremos mucho.