Agujeros negros num¨¦ricos

El mundo de las matem¨¢ticas est¨¢ repleto de curiosidades, ya sean num¨¦ricas, geom¨¦tricas, probabil¨ªsticas o de cualquier otro tipo. En el tiempo de vida de este blog hemos visto ya algunas de ellas, y hoy vamos a ver otras relacionadas exclusivamente con propiedades de n¨²meros naturales. En concreto, vamos a ver algunos casos de lo que a m¨ª me gusta llamar agujeros negros num¨¦ricos, que son algo as¨ª como n¨²meros que, despu¨¦s de unas sencillas operaciones, ¡°atraen¡± a muchos otros n¨²meros. Seguid leyendo y entender¨¦is mejor qu¨¦ quiero decir con esto.

Comencemos con un sencillo pasatiempo cuyos protagonistas son n¨²meros de cuatro cifras. Toma uno cualquiera (que no tenga todas las cifras iguales), por ejemplo el 4272. Construye con sus cifras el n¨²mero m¨¢s grande posible, que en este caso ser¨ªa el 7422, y el m¨¢s peque?o posible, que ahora ser¨ªa el 2247, y r¨¦stalos. En nuestro ejemplo nos quedar¨ªa

7422 ¨C 2247 = 5175

Repite el proceso con el resultado obtenido (si te ha quedado un n¨²mero de tres cifras, pon un cero a la izquierda para poder formar despu¨¦s n¨²meros de cuatro cifras). En nuestro caso:

7551 ¨C 1557 = 5994

Vuelve a realizar el mismo procedimiento con todos los resultados que vayas obteniendo. Lo hacemos con nuestro n¨²mero:

9954 ¨C 4599 = 5355

5553 ¨C 3555 = 1998

9981 ¨C 1899 = 8082

8820 ¨C 0288 = 8532

8532 ¨C 2358 = 6174

Siempre, sea cual sea el n¨²mero inicial, llegar¨¢s al n¨²mero 6174, y ya no saldr¨¢s de ¨¦l, ya que:

7641 ¨C 1467 = 6174

Como dec¨ªamos al principio, el 6174 acaba absorbiendo a todos los n¨²meros naturales de cuatro cifras como si fuera un agujero negro, num¨¦rico en este caso.

El n¨²mero 6174 es conocido como ¡°contante de Kaprekar¡±, y acaba absorbiendo a todos los n¨²meros de cuatro cifras (que no las tengan todas iguales).

Este n¨²mero 6174 se conoce como constante de Kaprekar, ya que fue el matem¨¢tico indio Rattatreya Ramachandra Kaprekar quien lo descubri¨®.

M¨¢s concretamente, 6174 es la constante de Kaprekar para cuatro cifras, ya que para n¨²mero con otras cantidades de cifras podemos probar a realizar el mismo procedimiento y ver qu¨¦ ocurre. Os invito a que prob¨¦is para n¨²meros de dos cifras y tambi¨¦n para n¨²meros de tres cifras, y en los comentarios nos cont¨¦is lo que hay¨¢is sacado en claro. Para n¨²meros de cinco o m¨¢s cifras tambi¨¦n pod¨¦is probar, aunque os llevar¨¢ algo m¨¢s de tiempo encontrar lo que ocurre en esos casos.

Veamos un nuevo caso de estos agujeros negros num¨¦ricos. Tomemos ahora un n¨²mero de tres cifras que no sea capic¨²a, por ejemplo el 112. Lo invertimos, obteniendo en nuestro caso el 211, y realizamos la resta del mayor menos el menor:

211 ¨C 112 = 99

Si, como en nuestro ejemplo, obtenemos un n¨²mero de dos cifras, a?adimos un cero a la izquierda igual que habr¨ªamos hecho en el caso anterior. Por tanto, ahora tendr¨ªamos el n¨²mero 099. Volvemos a invertir el resultado y sumamos los dos n¨²meros:

990 + 099 = 1089

Probad con cualquier otro n¨²mero no capic¨²a de tres cifras, da igual cu¨¢l sea, y despu¨¦s de realizar las operaciones comentadas siempre llegar¨¦is al 1089. De nuevo tenemos un n¨²mero, el 1089 en este caso, que se acaba tragando a una buena cantidad de n¨²meros (los de tres cifras no capic¨²as) despu¨¦s de ¡°cocinarlos¡± con unas sencillas operaciones.

Y vamos con un ejemplo m¨¢s. Toma ahora un n¨²mero natural cualquiera, ya sea de una, de dos, de cinco, de cien o de cualquier otra cantidad de cifras. Cuenta ahora cu¨¢ntas de esas cifras son pares y cu¨¢ntas son impares, y despu¨¦s forma otro n¨²mero colocando primero la cantidad de cifras pares, despu¨¦s la cantidad de impares y a continuaci¨®n la cantidad total de cifras que ten¨ªa el n¨²mero inicial. Repite el proceso todas las veces que puedas.

Como en los casos anteriores, vamos a ver un ejemplo. Tomemos el n¨²mero siguiente:

327257324900389642892020287634325256

Tiene 22 cifras pares (recordad que el cero es par)

327257324900389642892020287634325256

y 14 cifras impares

327257324900389642892020287634325256

Como tiene 36 cifras en total, obtenemos el n¨²mero siguiente:

221436

Ahora tenemos 4 cifras pares, 2 impares y 6 cifras en total, con lo que obtenemos el n¨²mero:

426

Repetimos el proceso. Ahora hay 3 cifras pares, 0 cifras impares y 3 cifras en total, llegando al:

303

Ahora hay 1 cifra par, 2 impares y un total de 3 cifras, consiguiendo el 123. Y de aqu¨ª no salimos, ya que volvemos a tener 1 par, 2 impares y 3 en total, con lo que llegar¨ªamos de nuevo al 123.

El 123 tiene la ¡°capacidad¡± de tragarse a todos los n¨²meros naturales tras unas sencillas operaciones de conteo de cifras pares, impares y totales.

Este n¨²mero 123 se traga a todos los n¨²meros naturales, independientemente del n¨²mero de cifras, despu¨¦s de ¡°tratarlos¡± con estas simples operaciones que hemos comentado. Pod¨¦is probar con cualquier otro n¨²mero, siempre llegar¨¦is al 123. Por cierto, la demostraci¨®n de esto es bastante sencilla. ?Alguien se ¡°atreve¡± a intentar demostrarlo y contarnos dicha demostraci¨®n en los comentarios?

Y, para finalizar, un caso m¨¢s de agujero negro num¨¦rico que conoc¨ª no hace mucho tiempo. Toma un n¨²mero natural cualquiera mayor que 1, calcula sus divisores (incluyendo al 1 y al propio n¨²mero) y despu¨¦s suma todas las cifras de dichos divisores. Repitiendo el proceso con todos los resultados que vayas obteniendo, siempre acabar¨¢s en el n¨²mero 15. En esta ocasi¨®n os dejo que prob¨¦is vosotros con distintos n¨²meros y que comprob¨¦is que en realidad es as¨ª.

Los que hemos visto en este art¨ªculo son solamente algunos ejemplos de los muchos agujeros negros num¨¦ricos que podemos encontrar a lo largo y ancho de los n¨²meros naturales. Seguro que vosotros conoc¨¦is m¨¢s casos parecidos a los expuestos aqu¨ª. Si es as¨ª, os agradeceremos mucho que nos habl¨¦is de ellos en los comentarios.