El matem¨¢tico que invent¨® los n¨²meros complejos

?Se imaginan a los matem¨¢ticos celebrando concursos de problemas en las plazas p¨²blicas seguidos con pasi¨®n por miles de ciudadanos? Por raro que parezca, esto ocurr¨ªa en la primera mitad del siglo XVI en Italia, en ciudades como Bolonia y Mil¨¢n. Los desaf¨ªos empezaban cuando se dejaba un escrito (una cartella) en una puerta de alguna iglesia, a forma de reto; y conclu¨ªan con el enfrentamiento dial¨¦ctico de los matem¨¢ticos, en un acto p¨²blico seguido por cientos de ciudadanos. Muchos de los problemas matem¨¢ticos objeto de disputa estuvieron relacionados con la b¨²squeda de las soluciones de las ecuaciones algebraicas de tercer y cuarto grado (es decir, aquellas en las que el grado m¨¢ximo de las variables es tres o cuatro, respectivamente). Durante siglos, grandes matem¨¢ticos, de la talla de Gauss y Euler, trataron de dar con una f¨®rmula general para resolverlas y, en el camino, surgieron conceptos fundamentales como los n¨²meros imaginarios (o complejos) y la teor¨ªa de grupos.

En la escuela se aprende la f¨®rmula para calcular las dos ra¨ªces de una ecuaci¨®n de segundo grado, pero para tercer y cuarto grado no es igual de sencillo dar con una f¨®rmula an¨¢loga, que de las soluciones de forma expl¨ªcita y sola usando las operaciones elementales (suma, resta, multiplicaci¨®n, potencia y ra¨ªces). Para quinto grado, y superiores, ahora se sabe que no existe dicha expresi¨®n, pero para llegar a esa conclusi¨®n tuvieron que pasar muchos a?os de investigaci¨®n matem¨¢tica.

Uno de los grandes cient¨ªficos involucrados en este reto intelectual fue el ingeniero hidr¨¢ulico Rafael Bombelli (1526, Bolonia ¨C 1572, Roma). En alguno de sus descansos, motivado por la paralizaci¨®n moment¨¢nea de alguna obra de ingenier¨ªa, Bombelli decidi¨® escribir un libro de ¨¢lgebra. Hab¨ªa le¨ªdo detalladamente el Ars Magna, del m¨¦dico y matem¨¢tico Gerolamo Cardano, en la que inclu¨ªa la f¨®rmula de resoluci¨®n de la ecuaci¨®n de tercer grado; la Arithmetica de Diofanto de Alejandr¨ªa (nacido alrededor del 200/214 d. C. y fallecido entre el 284 y 298 d. C.), de la que hizo una completa traducci¨®n; y b¨¢sicamente todo lo escrito sobre el tema.

En sus estudios algebraicos, de forma secundaria, dio con una de sus principales contribuciones a las matem¨¢ticas: la creaci¨®n de los n¨²meros complejos. Estos aparecen al resolver las ecuaciones de segundo grado cuyas soluciones implican una ra¨ªz cuadrada de un n¨²mero negativo. Por ejemplo, en la ecuaci¨®n x2= -1, las soluciones son la ra¨ªz cuadrada de -1. Evidentemente, no hay ning¨²n n¨²mero real cuyo cuadrado sea negativo, lo que contrariaba tremendamente a los matem¨¢ticos de siglo XVI. Las soluciones est¨¢n en un cuerpo de n¨²meros desconocidos hasta entonces: los n¨²meros imaginarios o complejos. De forma general los n¨²meros complejos tienen una parte real y otra imaginaria, y se pueden escribir como c= a + bi, donde i es la ra¨ªz de -1, la unidad imaginaria. En este caso, a ser¨ªa la parte real y b la parte imaginaria del n¨²mero c.

Los n¨²meros complejos aparecen al resolver las ecuaciones de segundo grado cuyas soluciones implican una ra¨ªz cuadrada de un n¨²mero negativo

Las ra¨ªces de n¨²meros negativos aparec¨ªan en los escritos de Cardano, pero consideraba que eran ¡°tan sutiles que eran in¨²tiles¡±, y no investig¨® m¨¢s sobre ellos. Sin embargo, Bombelli desarroll¨® la aritm¨¦tica de los n¨²meros complejos, descubriendo las reglas de su suma y su multiplicaci¨®n. Para trabajar con estos n¨²meros, invent¨® una sofisticada notaci¨®n. En palabras del ilustre matem¨¢tico Gottfried Leibniz, creador del c¨¢lculo diferencial, Bombelli se adelant¨® a su tiempo.

Bombelli no encontr¨® las reglas de los complejos al estudiar las ecuaciones de segundo grado, sino las de tercero, como x3 = 15 x+4. La ecuaci¨®n tiene una primera soluci¨®n sencilla, 4. Pero usando f¨®rmula de Cardano se obten¨ªa otra soluci¨®n, en la que aparec¨ªa una suma de dos ra¨ªces c¨²bicas y la ra¨ªz cuadrada de -121. Bombelli denot¨® 2 + ¡Ì-121 = (2+¡Ì-1)3 y 2 - ¡Ì-121 = (2-¡Ì-1)3 . Aplicando las reglas adecuadas de suma y multiplicaci¨®n, encontr¨® soluciones que hasta entonces no se entend¨ªan.

Los matem¨¢ticos no hab¨ªan sido capaces de ver la utilidad de esta construcci¨®n abstracta, pero, Bombelli, con su mentalidad de ingeniero, ide¨® los n¨²meros complejos porque le resultaban necesarios para sus c¨¢lculos. As¨ª surgen algunos avances matem¨¢ticos, de la necesidad de nuevos instrumentos para tratar fen¨®menos f¨ªsicos o aplicaciones a la ingenier¨ªa.

Bombelli se refer¨ªa a los n¨²meros imaginarios +¡Ì-1 y ¨C¡Ì-1 como ¡°pi¨´ di meno¡± y ¡°meno di meno¡±. Fue el gran matem¨¢tico Leonhard Euler el primero que denot¨® a la ra¨ªz cuadrada de (-1) como i, en 1777, qui¨¦n adem¨¢s se dedic¨® a estudiarlos en profundidad (su f¨®rmula, una de las m¨¢s bellas de las matem¨¢ticas, los relaciona con el n¨²mero e y con ¦Ð). Los n¨²meros complejos son un objeto b¨¢sico de las matem¨¢ticas, que aparece en numerosas ramas de la investigaci¨®n (geometr¨ªa compleja, an¨¢lisis complejo, fractales, circuitos el¨¦ctricos, por ejemplo).

Manuel de Le¨®n es director del ICMAT. ?gata Tim¨®n es responsable de comunicaci¨®n y divulgaci¨®n del ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.