?Por qu¨¦ 3435 es uno de mis n¨²meros favoritos?

Cuando preguntas a alguien sobre cu¨¢l es su n¨²mero favorito, la respuesta suele ser un n¨²mero bajo y casi todo el mundo te dice los mismos. Seg¨²n mi experiencia, el 5 y el 7 suelen repetirse bastante, v¨¢yase usted a saber por qu¨¦.

Uno de mis n¨²meros favoritos es el 12, principalmente porque tiene una importante cantidad de divisores para ser un n¨²mero tan peque?o: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Eso ayuda bastante a la hora de dividir grupos de 12 elementos en partes enteras iguales. Bueno, y porque me gusta, que tampoco tiene que haber una raz¨®n. S¨ª, soy raro, lo s¨¦.

Pero otro de mis n¨²meros favoritos desde hace tiempo es el 3435. La raz¨®n es que este n¨²mero cumple una propiedad muy interesante que no cumplen muchos otros. Sigue leyendo y ver¨¢s cu¨¢l es esa curiosa caracter¨ªstica.

La cuesti¨®n va sobre ver qu¨¦ pasa al calcular potencias de las cifras de los n¨²meros enteros positivos y sumar resultados. Pero no cualquier potencia, sino algunas que tengan cierta regularidad y adem¨¢s nos den un resultado curioso o interesante.

Se podr¨ªa jugar con las potencias de las cifras de los enteros positivos de muchas maneras, pero buscamos algo muy concreto: que las potencias tengan algo que ver con el n¨²mero y que ese juego de potencias nos d¨¦ como resultado el n¨²mero inicial. Veamos alg¨²n ejemplo para aclarar un poco esto.

Supongamos que tomamos los n¨²meros de dos cifras y elevamos cada cifra al n¨²mero que corresponde con la posici¨®n que ocupa (contando de izquierda a derecha) y sumamos. La pregunta es: ?en alg¨²n caso obtenemos el n¨²mero inicial? Por ejemplo, si tomamos el 32, tendr¨ªamos

3¹ + 2² = 3 + 4 = 7

que no es 32. Otro, el 48:

4¹ + 8² = 4 + 64 = 68

que tampoco coincide con el n¨²mero inicial, que era 48. Uno m¨¢s, el 17:

1¹ + 7² = 1 + 49 = 50

que, como antes, sigue sin coincidir con el n¨²mero del que part¨ªamos, el 17.

Bien, ?hay alg¨²n n¨²mero de dos cifras que cumpla que estas operaciones dan como el resultado el propio n¨²mero? S¨ª, el 89 es el ¨²nico n¨²mero de dos cifras con esta propiedad:

8¹ + 9² = 8 + 81 = 89

Pod¨¦is probar con todos los dem¨¢s, y ver¨¦is que no hay ning¨²n otro. Y tambi¨¦n os invito a que jugu¨¦is con los de tres cifras (hay cuatro n¨²meros), con los de cuatro cifras (hay tres n¨²meros), pero no con los de cinco y los de seis cifras, ya que en este caso no hay ning¨²n resultado. Para los de siete cifras tenemos una ¨²nica soluci¨®n, y es el n¨²mero 2646798:

2¹ + 6² + 4³ + 6⁴ + 7⁵ + 9⁶ + 8⁷ = 2646798

Para ocho cifras, si no me equivoco, no hay ninguno, y para un n¨²mero mayor de cifras desconozco se hay soluciones. Si alguien sabe algo sobre ello que nos hable sobre el tema en los comentarios.

Pero ¨¦ste no es el juego de potencias del que quer¨ªa hablar hoy. Nuestro juego va de elevar un n¨²mero a s¨ª mismo, cifra a cifra, y obtener el propio n¨²mero. Vamos a tomar un n¨²mero de tres cifras, por ejemplo el 243, para ejemplificar el asunto:

2² + 4⁴ + 3³ = 4 + 256 + 27 = 287

L¨¢stima, no coincide con el inicial, el 243. Tomemos ahora uno de cuatro cifras, digamos el 1843:

1¹ + 8⁸ + 4⁴ + 2² = 1 + 16777216 + 256 + 4 = 16777477

Nada, tampoco en este caso, y de hecho nos hemos alejado una barbaridad.

Por cierto, si quer¨¦is probar por vuestra cuenta y lo hac¨¦is con alg¨²n n¨²mero que tenga alguna cifra igual a 0, os saldr¨¢ un 0⁰. ?Qu¨¦ hacemos en ese caso? Pues tomar la definici¨®n m¨¢s adecuada para este n¨²mero: 0⁰ = 1.

?Habr¨¢ alguno? Pues s¨ª, ya vamos a citar al que, como dec¨ªa en el t¨ªtulo del art¨ªculo, es uno de mis n¨²meros favoritos. Exacto, 3435 cumple la propiedad que acabamos de describir:

3³ + 4⁴ + 3³ + 5⁵ = 27 + 256 + 27 + 3125 = 3435

No me dir¨¦is que no es chulo el numerito.

Bien, hemos encontrado uno, y podemos encontrar otro muy f¨¢cilmente. Correcto, el 1 tambi¨¦n cumple esta propiedad:

1¹ = 1

Pero ¨¦ste es, digamos, muy trivial, nos gustar¨ªa encontrar alg¨²n otro ejemplo m¨¢s elaborado que ¨¦ste. Os invito de nuevo a hacer pruebas con, por empezar por alg¨²n sitio, n¨²meros de dos cifras, siguiendo con los n¨²meros de tres, y as¨ª sucesivamente¡­

¡­pero ser¨¢ dif¨ªcil que encontr¨¦is alguno m¨¢s, ya que, salvo el 1, el 3435 es el ¨²nico n¨²mero entero positivo que cumple que al elevar cada cifra a ella misma y sumar nos da como resultado el propio 3435.

S¨ª, da igual si prob¨¢is con n¨²meros de tres cifras, de cuatro, de cinco o de cuarenta, no hay m¨¢s n¨²meros enteros positivos con esta caracter¨ªstica. Por eso, el 3435 es uno de mis n¨²meros favoritos.

?C¨®mo puedo ser tan tajante? ?Acaso hay alguna demostraci¨®n de este hecho? S¨ª. ?Os la voy a contar? No, porque se saldr¨ªa de la pretensi¨®n de este art¨ªculo. ?Os voy a dar alg¨²n enlace para que los interesados puedan verla? Claro que s¨ª: On a curious property of 3435, subido a arXiv por Daan van Berkel.

Seg¨²n parece, el propio Daan van Berkel puso nombre a estos curiosos n¨²meros: n¨²meros de Munchausen, inspirado en la historia del bar¨®n de M¨¹nchhausen. Este personaje hist¨®rico sirvi¨® en el ej¨¦rcito ruso y, despu¨¦s de un par de campa?as contra los turcos, cont¨® varias haza?as, supuestamente propias, que inclu¨ªan la de haber salido de una ci¨¦naga tir¨¢ndose de su propia coleta. Vamos, que se elev¨® a s¨ª mismo, de ah¨ª el nombre de n¨²meros de Munchausen.

Y, para finalizar, es interesante remarcar que en todo este art¨ªculo hemos considerado n¨²meros en base 10, pero se podr¨ªan tomar otras bases de numeraci¨®n y buscar n¨²meros de Munchausen en ellas. Os dejo que indagu¨¦is vosotros mismos y, si quer¨¦is, nos cont¨¦is vuestros hallazgos en los comentarios.