Una curiosidad desconocida del n¨²mero ¨¢ureo

Si pregunt¨¢is a gente de matem¨¢tica cu¨¢l es el m¨¢s hermoso de todos los n¨²meros, muchos escoger¨¢n el siguiente:

Extra?o, pero lo cierto es que este n¨²mero (conocido como n¨²mero ¨¢ureo) aparece en numerosos escenarios: series num¨¦ricas, figuras geom¨¦tricas, formas de la naturaleza... Tanto Leonardo da Vinci como Le Corbusier respetaron siempre estas proporciones en sus obras. Tambi¨¦n los seguidores de corrientes ocultistas lo han incorporado en la iconograf¨ªa de sus organizaciones como s¨ªmbolo de sacralidad, y las banderas de varios pa¨ªses se apoyan en el n¨²mero ¨¢ureo en su dise?o.

En geometr¨ªa, encontramos ? en un pent¨¢gono de lados iguales, exactamente en la proporci¨®n entre la longitud de la diagonal y la del lado del pent¨¢gono En aritm¨¦tica, aparece en la serie de Fibonacci, en la que cada t¨¦rmino se obtiene sumando los dos anteriores (comenzando con 1, 1, y luego 1+1 = 2, 2+1 = 3, 3+2 = 5, 5+3 = 8, 13, 21, 34, 55,...). Si se divide cada elemento por el anterior, se obtiene: 2/1= 2, 3/2= 1,5, 5/3=1,666¡­, 8/5=1,6, 13/8=1,625, 21/13=1,615, 34/21= 1,619¡­ Pues bien, estos cocientes se van aproximando cada vez m¨¢s a ?.

El n¨²mero ? es irracional, es decir, no es la divisi¨®n de dos n¨²meros enteros. En este aspecto, nuevamente ? destaca, pues es el n¨²mero m¨¢s irracional de todos. Efectivamente, existe una forma concreta de medir cu¨¢n alejado est¨¢ un n¨²mero irracional de ser una fracci¨®n y, en este ranking, ? supera a todos los irracionales.

Por otro lado, las proporciones de diversas partes de los seres vivos tienden a ser ¨¢ureas, es decir, iguales a ?. En los seres humanos, esto se cumple, por ejemplo, para las distancias de los pies al ombligo y desde all¨ª a la parte superior de la cabeza, las longitudes del antebrazo y la mano, o las distancias de la punta de la nariz al ment¨®n y desde all¨ª a los labios.

Ya los antiguos griegos develaron algunos de los misterios matem¨¢ticos de la proporci¨®n ¨¢urea Por ejemplo, propusieron la primera construcci¨®n exacta de un pent¨¢gono regular usando regla y comp¨¢s. Ellos tambi¨¦n fueron sensibles a las propiedades est¨¦ticas de ?, y lo implementaron en el dise?o de decoraciones y construcciones. De hecho, la letra griega ? (fi) fue acu?ada en honor al c¨¦lebre escultor Fidias, quien sigui¨® patrones ¨¢ureos en la elaboraci¨®n de las esculturas que decoraban el Parten¨®n de Atenas.

En cuanto a banderas, la proporci¨®n entre el largo y el alto de la de Togo es igual a ? Sin embargo, la que despliega las proporciones ¨¢ureas en su m¨¢ximo esplendor es una bandera casi olvidada, aquella con la que Chile firm¨® su independencia hace 200 a?os.

Al igual que varios pa¨ªses de Latinoam¨¦rica, el proceso independentista chileno se inspir¨® en las ideas libertarias e iluministas de Francia y EE.UU. recogidas, entre otras, por las logias mas¨®nicas. Los colores elegidos para la bandera del pa¨ªs naciente, blanco, azul y rojo, son una muestra evidente de esto. M¨¢s a¨²n, su dise?o geom¨¦trico perfecto revela una conexi¨®n muy profunda. En ¨¦l, ? aparece en varias proporciones: entre los largos de los campos blanco y azul entre el alto de la parte azul y el di¨¢metro de la circunferencia en la cual se inscribe la estrella, y entre las partes del lado azul delimitadas por las proyecciones de los ejes de la estrella.

La ¨²ltima propiedad se logra gracias a que el sector azul corresponde a un rect¨¢ngulo especial, en el cual se despliega una configuraci¨®n angular de 36^o, 72^o y 108^o, muy similar a la que aparece en un pent¨¢gono regular.?

Varios misterios rodean a este dise?o. ?Qui¨¦n lo hizo? ?Por qu¨¦ no se guard¨® ning¨²n registro? ?Qui¨¦nes pose¨ªan este conocimiento y se encargaron de ense?arlo hasta fines del siglo XIX? ?Por qu¨¦ nadie dio testimonio de la presencia de la raz¨®n ¨¢urea por casi 200 a?os, hasta que el fil¨®sofo y experto en est¨¦tica Gast¨®n Soublette dio con ella?

Incre¨ªblemente, todas estas preguntas siguen sin respuesta. Sobre el dise?o, se supone que este habr¨ªa sido en parte ideado por el libertador Bernardo O¡¯Higgins, correspondiendo la implementaci¨®n t¨¦cnica a un ingeniero militar. Aqu¨ª la opini¨®n de los historiadores se divide: algunos postulan a Antonio Arcos y otros a Gregorio de And¨ªa y Varela. Una curiosidad: ambos eran de origen espa?ol, pero intervinieron en favor de Chile durante la guerra.

La Bandera de la Independencia es conservada en el Museo Hist¨®rico Nacional de Santiago. En 1912, las proporciones de la bandera chilena fueron modificadas (y simplificadas), perdi¨¦ndose as¨ª gran parte del simbolismo de este emblema. Fue un verdadero sacrilegio geom¨¦trico.

Andr¨¦s Navas es profesor de la Universidad de Santiago de Chile e investigador visitante de la Universidad Nacional Aut¨®noma de M¨¦xico.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: "Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas".

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata Tim¨®n (ICMAT)