La sucesi¨®n de Padovan

Los n¨²meros 187 y 2019 pueden descomponerse en sumas de cuadrados y de cubos de distintas maneras, tal como se dec¨ªa la semana pasada; he aqu¨ª algunas de las m¨¢s breves, halladas por nuestros comentaristas habituales Oli y Theram:

187 = 13? + 3? + 3?;

2019 = 43? + 13? + 1?

187 = 5? + 3? + 3? + 2?

2019 = 11? + 7? + 7? + 1? + 1?

La secuencia 16, 1, 2, 3, 5, 1, 1¡­ es un ejemplo de esos fen¨®menos o acontecimientos que pasan inadvertidos por su misma ¡°normalidad¡±, como esos ruidos de los que solo somos conscientes cuando cesan. En muchas casas sigue habiendo relojes de pared que dan los cuartos y las horas, y en casi todas las casas entra uno de esos relojes una vez al a?o para dar las campanadas de a?o nuevo. Al acabar un d¨ªa y empezar otro, esos relojes dan 16 campanadas: las 4 de los cuartos m¨¢s las 12 de la hora; un cuarto de hora despu¨¦s, 1 campanada anuncia el primer cuarto de la hora siguiente¡­ Y el quinto t¨¦rmino de la secuencia, 5, corresponde a los cuatro cuartos de la una m¨¢s la campanada de la hora. Como pista, dije que la secuencia estaba inspirada en un acontecimiento muy reciente y muy ¡°sonado¡± (las campanadas de a?o nuevo); pero¡­ Surge una duda que planteo a modo de metaacertijo: ?es aceptable esta secuencia como acertijo l¨®gico-matem¨¢tico, o es una de esas preguntas-trampa que cuando te dicen la respuesta exclamas indignado: ¡°?Eso no vale!¡±.

Hace unos a?os, un ni?o mal¨¦volo me volvi¨® loco mostr¨¢ndome la siguiente secuencia num¨¦rica: 2, 5, 5, 4, 5, 6, 3¡­ ?Qu¨¦ n¨²mero sigue? Tard¨¦ varios d¨ªas en dar con la soluci¨®n, y por casualidad, y mi primera reacci¨®n fue exclamar mentalmente: ¡°?Maldito ni?o!¡±. Pero luego pens¨¦ que este tipo de secuencias at¨ªpicas, o ligeramente?tramposas, nos invitan a ejercer el pensamiento lateral, as¨ª que bienvenidas sean. Una pista: esta secuencia tiene mucho que ver con la de las campanadas. Y una metapista: la pista anterior puede resultar enga?osa.

Una sucesi¨®n familiar

Puesto que hablamos de secuencias num¨¦ricas y hace poco habl¨¢bamos de Ian Stewart, es inevitable mencionar la sucesi¨®n de Padavan:

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7¡­

?Qu¨¦ n¨²mero sigue? (Es f¨¢cil encontrar en la red la respuesta a esta y otras preguntas relativas e la sucesi¨®n de Padovan; pero no te prives del placer de encontrarlas sin ayuda).

La sucesi¨®n fue popularizada en 1996 por Ian Stewart en su secci¨®n de pasatiempos matem¨¢ticos de Scientific American, pero es obra del matem¨¢tico y arquitecto brit¨¢nico Richard Padovan, de ah¨ª su nombre.

Seguro que m¨¢s de uno, aunque no conociera esta secuencia num¨¦rica, habr¨¢ pensado al verla: ¡°Me resulta familiar¡±. ?Con qu¨¦ otra famosa sucesi¨®n est¨¢ emparentada? Y para las/os lectoras/es m¨¢s sagaces: ?qu¨¦ tiene que ver con la ecuaci¨®n x³ ¨C x ¨C 1 = 0?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.