El problema de Waring

El ¨¢rea (S) de un pol¨ªgono regular de lado l circunscrito a un c¨ªrculo de radio r es S = nlr/2, siendo n el n¨²mero de lados, puesto que podemos dividir el pol¨ªgono en n tri¨¢ngulos de base l y altura r (el radio del c¨ªrculo es la apotema del pol¨ªgono circunscrito y por ende la altura de los tri¨¢ngulos); ahora bien, nl es el per¨ªmetro (p) del pol¨ªgono, por lo que la f¨®rmula se puede escribir as¨ª: S = pr/2.

Si vamos aumentando el n¨²mero de lados del pol¨ªgono circunscrito, su ¨¢rea se acercar¨¢ cada vez m¨¢s a la del c¨ªrculo y su per¨ªmetro a la longitud de la circunferencia; en el l¨ªmite p = 2¦Ðr, luego S = 2¦Ðr.r/2 = ¦Ðr². De este modo hemos hallado el ¨¢rea del c¨ªrculo a la manera de Arqu¨ªmedes, tal como nos plante¨¢bamos la semana pasada.

Los n¨²meros 187 y 2019 son primos entre s¨ª; pero mis sagaces lectoras/es no les han encontrado ninguna otra caracter¨ªstica notable, por lo que a continuaci¨®n les plantear¨¦ otro peque?o desaf¨ªo relativo a ellos.

Sumas de potencias

El pasado 23 de diciembre falleci¨® el gran matem¨¢tico estadounidense de origen belga Elias Stein, uno de los m¨¢ximos impulsores, junto con su maestro Antoni Zygmund, del an¨¢lisis arm¨®nico, una poderosa y vers¨¢til herramienta aplicable a distintos campos de la matem¨¢tica y la f¨ªsica (como se?ala Antonio C¨®rdoba en un interesante art¨ªculo publicado en estas mismas p¨¢ginas); por ejemplo, a la teor¨ªa de n¨²meros, y a problemas como el de Waring.

A finales del siglo XVIII, el matem¨¢tico ingl¨¦s Edward Waring conjetur¨® que, dado un exponente n entero y positivo, todo n¨²mero natural puede expresarse como suma de un n¨²mero limitado de potencias en¨¦simas, y que el n¨²mero m¨¢ximo de sumandos necesarios est¨¢ acotado y ligado al exponente en cuesti¨®n. Es m¨¢s f¨¢cil verlo con alg¨²n ejemplo sencillo: en el caso concreto de los exponentes 2 y 3, todo n¨²mero natural puede expresarse como suma de, como m¨¢ximo, 4 cuadrados y 9 cubos. As¨ª, 63 = 7² + 3² + 2² + 1² (descomposici¨®n no necesariamente ¨²nica; ?puedes hallar otra, tal vez una con menos sumandos?). Lagrange demostr¨® que Waring ten¨ªa raz¨®n en el caso n = 2, y en 1909 Hilbert hall¨® una demostraci¨®n general, con lo que la conjetura dej¨® de serlo para convertirse en certeza.

Invito a mis sagaces lectoras/es a expresar los n¨²meros 187 y 2019 como suma de 4 o menos cuadrados (y de 9 o menos cubos los que no se conformen con un aprobado). Y hablando de curiosas relaciones entre n¨²meros, he aqu¨ª una secuencia inspirada en un acontecimiento muy reciente: 16 1 2 3 5 1¡­ ?Cu¨¢l es el n¨²mero siguiente?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica,Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.