D¨ªa de la mujer calculadora

La secuencia del n¨²mero de ¨¢rboles distintos que se pueden formar con n nodos es: 1, 1, 1, 2, 3, 6, 11, 23, 47, 106, 235, 551¡­ (El primer 1 corresponde al grafo elemental de un solo nodo).

Nos pregunt¨¢bamos la semana pasada si hay una f¨®rmula sencilla que d¨¦ el n¨²mero de ¨¢rboles distintos en funci¨®n del n¨²mero de nodos. La respuesta es no. La secuencia empieza pareci¨¦ndose a la de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21¡­), y es tentador relacionarlas, ya que esta aparece a menudo en los ¨¢rboles de la naturaleza; pero el crecimiento de la ¡°secuencia arb¨®rea¡± es cada vez m¨¢s r¨¢pido con respecto a la de Fibonacci.

Como vimos, en el caso de tres puntos que son v¨¦rtices de un tri¨¢ngulo equil¨¢tero, el ¨¢rbol de Steiner se obtiene tomando como ¡°punto de Steiner¡± el centro del tri¨¢ngulo. ?Y si el tri¨¢ngulo no es equil¨¢tero? En ese caso, hay que buscar el punto cuya suma de distancias a los tres v¨¦rtices es m¨ªnima. Es el punto de Fermat o punto de Torricelli del tri¨¢ngulo, denominado as¨ª porque el primero le plante¨® el problema al segundo y este lo resolvi¨®.

En un tri¨¢ngulo que no tenga un ¨¢ngulo mayor de 120?, el punto de Fermat, que coincide con el punto de Sreiner de los nodos situados en los v¨¦rtices, se halla construyendo sendos tri¨¢ngulos equil¨¢teros en dos cualesquiera de los lados y uniendo sus v¨¦rtices exteriores con los v¨¦rtices opuestos del tri¨¢ngulo en cuesti¨®n, como indica la figura.

?En el caso de un cuadrado, el ¨¢rbol de longitud m¨ªnima se obtiene con la configuraci¨®n de la figura, en la que los tres ¨¢ngulos que confluyen en cada uno de los dos puntos de Steiner son de 120?. Si tomamos como unidad el lado del cuadrado, ?cu¨¢l es la longitud de este ¨¢rbol m¨ªnimo? ?Qu¨¦ ahorro supone con respecto al ¨¢rbol m¨¢s evidente, formado por tres lados del cuadrado? ?Y con respecto al ¨¢rbol formado por las dos diagonales del cuadrado?

?Y un m¨¢s dif¨ªcil todav¨ªa: ?c¨®mo es el ¨¢rbol de Steiner de los v¨¦rtices de un pent¨¢gono regular?

Esta entrega de El juego de la ciencia se publica el 8 de marzo, D¨ªa Internacional de la Mujer, y como modesta contribuci¨®n a su celebraci¨®n propongo tres acertijos l¨®gicos de una de las pocas mujeres que, en la estela de Ada Lovelace, se han dedicado a estudiar y refinar formas de c¨¢lculo. Me refiero a Angela Foxx Dunn, de la que ya he hablado en alguna ocasi¨®n, y que en los a?os sesenta del siglo pasado realiz¨®, para un par de revistas t¨¦cnicas, una excelente secci¨®n semanal de acertijos matem¨¢ticos, casi siempre relacionados con el c¨¢lculo, titulada Problematical Recreations, y tambi¨¦n public¨® varios libros sobre el tema (hay al menos uno en castellano, aunque dif¨ªcil de encontrar: El abuelo listo, RBA, 2008). He aqu¨ª tres de sus acertijos:

En un puzle de 100 piezas, ?cu¨¢ntos movimientos son necesarios para completarlo? Un movimiento consiste en ensamblar dos conjuntos de piezas (incluyendo conjuntos de una sola pieza).

Un caj¨®n contiene un n¨²mero impar de calcetines marrones y un n¨²mero par de calcetines negros. ?Cu¨¢l es el menor n¨²mero de calcetines marrones y negros que ha de contener el caj¨®n para que al sacar dos calcetines al azar la probabilidad de que ambos sean marrones sea 1/2?

?Cu¨¢l es el mayor resultado que se puede obtener como producto de n¨²meros naturales (enteros y positivos) cuya suma es 100?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.