Y D¡¯Hondt reparti¨® los esca?os

Ya hay soluci¨®n para el segundo de los desaf¨ªos matem¨¢ticos electorales presentado por EL PA?S y la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. Ang¨¦lica Benito Sualdea y Adolfo Quir¨®s Graci¨¢n, profesores de la Universidad Aut¨®noma de Madrid, propusieron el desaf¨ªo y nos dan ahora la soluci¨®n.

Recordemos que ten¨ªamos tres partidos, A, B y C, que, en el conjunto de dos provincias, han obtenido respectivamente 63, 68 y 69 votos. Estos 200 electores viven 100 en cada una de las dos provincias, pero no sabemos c¨®mo se distribuyen los votos entre las provincias.

M¨¢s informaci¨®n

Consulte todos los desaf¨ªos publicados por EL PA?S

Si en cada provincia se eligen 3 diputados, que se asignan utilizando el m¨¦todo D'Hondt, el desaf¨ªo consist¨ªa en encontrar (y justificar) el n¨²mero m¨¢ximo y m¨ªnimo de esca?os que puede lograr el partido A seg¨²n est¨¦n distribuidos los 200 electores.

La respuesta, que han dado correctamente un 80% de los m¨¢s de 100 lectores que han enviado soluciones dentro del plazo marcado, es que A obtendr¨¢ al menos 1 esca?o y nunca m¨¢s de 3.

Logra 3 esca?os, por ejemplo, con la siguiente distribuci¨®n de votos:

Obs¨¦rvese que en este ejemplo la distribuci¨®n de los 6 esca?os de las dos provincias es 3 para A, 2 para B y 1 para C, justo en orden inverso al de los votos totales.

Con esta otra distribuci¨®n, pr¨¢cticamente sim¨¦trica a la anterior, A obtiene 1 esca?o:

Ahora la distribuci¨®n de los 6 esca?os de las dos provincias es 1 para A, 2 para B y 3 para C, lo que era de esperar dada la simetr¨ªa.

En ning¨²n caso puede A quedarse sin esca?os, porque, al dividirse sus 63 votos entre dos provincias, en alguna de ellas tiene que obtener al menos 32 votos. En esa provincia los como mucho 68 votos de los otros dos partidos no son suficientes para conseguir los 3 esca?os porque 32>68/3.

Nos falta demostrar que A no puede alcanzar el cuarto esca?o.

Para ganar 3 esca?os en una provincia el partido A necesita al menos 60 votos porque, con 59 los otros dos partidos se repartir¨ªan los 41 votos restantes, y uno de ellos tendr¨ªa al menos 21 votos y nos ganar¨ªa un esca?o porque 21>59/3. Eso le deja s¨®lo 3 votos para la otra provincia, con los que no alcanza de ninguna manera para un esca?o.

La otra posibilidad ser¨ªa ganar 2 esca?os en cada provincia. Pero s¨®lo el partido con m¨¢s votos en la provincia puede ganar 2 de los 3 esca?os, as¨ª que A tendr¨ªa que ganar en ambas provincias, para lo que necesita tener en total m¨¢s votos que B y que C, lo que no es el caso.

Aprovechamos para satisfacer la curiosidad de algunos lectores que, aunque no es relevante para el desaf¨ªo, han preguntado c¨®mo se resuelven los empates. Por ejemplo, ?c¨®mo se reparten los esca?os si en una provincia A obtiene 60 votos mientras que B y C logran 20 cada uno? Los dos primeros esca?os se asignan a A por sus cocientes 60/1=60 y 60/2=30, pero para el tercer esca?o hay un triple empate a 20.

Esta situaci¨®n la tiene que resolver la legislaci¨®n electoral. En el caso de Espa?a, la Ley Org¨¢nica del R¨¦gimen Electoral General indica, en el apartado 1, d) de su art¨ªculo 163, dice:

"Cuando en la relaci¨®n de cocientes coincidan dos correspondientes a distintas candidaturas, el esca?o se atribuir¨¢ a la que mayor n¨²mero total de votos hubiese obtenido. Si hubiera dos candidaturas con igual n¨²mero total de votos, el primer empate se resolver¨¢ por sorteo y los sucesivos de forma alternativa".

Aplicando esta norma a nuestro ejemplo, tambi¨¦n el tercer esca?o ser¨ªa para el partido A.

Esta duda ha afectado especialmente a quienes han resuelto el desaf¨ªo utilizando un ordenador para calcular el reparto de esca?os en todas las situaciones posibles, y se han encontrado con la necesidad de resolver empates. Este m¨¦todo es v¨¢lido y, por supuesto, lo hemos aceptado cuando la respuesta era correcta, aunque quiz¨¢s no sea el m¨¢s iluminador. Se corre adem¨¢s el riesgo de olvidarse de alguno de los 3.424 casos posibles (o 1.712 si consideramos que la situaci¨®n es sim¨¦trica para ambas provincias).

Algo distinto es lo que ha hecho, entre otros, Mar¨ªa Jos¨¦ E., que ha combinado la b¨²squeda con ordenador (al fin y al cabo nosotros tambi¨¦n hemos buscado ejemplos), con un argumento para mostrar la imposibilidad.

La mayor¨ªa de los lectores han dado soluciones en un lenguaje parecido al nuestro. Es especialmente concisa la de Victor Manuel de P., y muy elegante la "soluci¨®n familiar" que han enviado Enrique T. y su hija Leyre.

Otros han optado por escribir detalladamente todas las desigualdades que imponen las condiciones y resolver los correspondientes sistemas de inecuaciones. Lo han hecho de manera gr¨¢fica Rafael C. o Aitor S., entre otros.

Entre las m¨¢s de 100 soluciones recibidas las hay procedentes de distintos pa¨ªses de Europa y Am¨¦rica. Nos ha hecho especial ilusi¨®n la que ha enviado Daniel E. G., que trabaja en la Corte Electoral de Uruguay.

La RSME ha decidido seleccionar un lector entre los que han resuelto el desaf¨ªo para enviarle un ejemplar del libro Soluciones ?Aj¨¢!, de Martin Erickson , que forma parte de la Biblioteca Est¨ªmulos Matem¨¢ticos que publica conjuntamente con Editorial SM. La agraciada ha sido Susana C.

Os esperamos en el tercer desaf¨ªo matem¨¢tico electoral, previsto para la segunda semana de mayo y que tratar¨¢ sobre coaliciones.