Jugando a ser Victor D¡¯Hondt

Ang¨¦lica Benito Sualdea y Adolfo Quir¨®s Graci¨¢n, profesores de Matem¨¢ticas en la Universidad Aut¨®noma de Madrid nos presentan el segundo de los tres desaf¨ªos que EL PA?S y la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola van a proponer en este periodo de intensa actividad electoral.

En esta ocasi¨®n trata de c¨®mo afectan las circunscripciones a la aplicaci¨®n del m¨¦todo D'Hondt (llamado tambi¨¦n m¨¦todo de los divisores naturales o, en Estados Unidos, m¨¦todo de Jefferson), que es el que rige en Espa?a la mayor¨ªa de los procesos electorales. Los lectores pueden enviar sus respuestas hasta las 00.00 del jueves 25 de abril (la medianoche del mi¨¦rcoles al jueves, hora peninsular espa?ola) a problemamatematicas@gmail.com.

A continuaci¨®n, para aclarar dudas, a?adimos el enunciado del problema por escrito. Recordemos que el m¨¦todo D'Hondt procede como sigue para repartir E esca?os. Se dividen los votos de cada partido sucesivamente entre 1, 2, 3,¡­ hasta E, y se asignan los esca?os a los partidos a los que correspondan los E mayores cocientes. Para dar un ejemplo, supongamos que tres partidos, A, B y C, que han obtenido respectivamente 240, 150 y 90 votos, deben repartirse 4 esca?os. Har¨ªamos una tabla como esta (aunque en realidad no es necesario calcularla entera):

Si vamos mirando los cocientes mayores, el primer esca?o se lo llevar¨ªa A (por el 240), el segundo B (150), el tercero de nuevo A (120) y el cuarto C (90). La gran mayor¨ªa de la falta de proporcionalidad en el Congreso de los Diputados no viene del uso del m¨¦todo D'Hondt, sino de que la elecci¨®n se realiza en 52 circunscripciones, y por tanto son en realidad 52 elecciones distintas, en la mayor¨ªa de las cuales se reparten pocos diputados. Por ejemplo, en las elecciones del pr¨®ximo 28 de abril, a 21 de las 52 circunscripciones les corresponden cuatro o menos esca?os, siendo imposible que en ninguna de ellas obtengan representaci¨®n cinco partidos.

La existencia de 52 circunscripciones dificulta tambi¨¦n hacer predicciones sobre los esca?os a partir de encuestas con una muestra de tama?o suficiente para toda Espa?a, pero quiz¨¢s no para cada provincia individualmente. A esta dificultad se dirige nuestro desaf¨ªo. Supongamos que queremos repartir, usando el m¨¦todo D'Hondt, seis esca?os entre tres partidos, A, B y C, que han obtenido respectivamente 63, 68 y 69 votos (si parecen n¨²meros peque?os, pueden ser "miles de votos" sin que el resultado var¨ªe). La primera parte de la tabla quedar¨ªa as¨ª:

Como 69/3=23<31,5=63/2, el reparto de los 6 esca?os dar¨ªa 2 a cada partido. Imaginemos ahora que estos 200 electores en realidad viven en 2 provincias, 100 en cada una, y que en cada provincia se eligen 3 diputados, pero no sabemos c¨®mo se distribuyen los votos entre las provincias. El desaf¨ªo consiste en dar el n¨²mero m¨¢ximo y m¨ªnimo de esca?os que puede lograr el partido A seg¨²n est¨¦n distribuidos los 200 electores. De manera similar al desaf¨ªo anterior, hay que dar un ejemplo en el que obtenga el m¨¢ximo, otro en el que obtenga el m¨ªnimo, y explicar rigurosamente por qu¨¦ A no puede lograr ni m¨¢s ni menos esca?os.

Esperamos vuestras respuestas.