Ganar juegos usando la mec¨¢nica cu¨¢ntica

Empezamos proponiendo un juego colaborativo para dos jugadores, a los que nos referiremos como Alicia y Berto. El juego se conoce como el cuadrado m¨¢gico (magic square game) y la mejor forma de entender sus reglas es considerar un cuadrado como el de la Figura 1. Escogemos una fila del cuadrado de forma aleatoria y le pedimos a Alicia que asigne un cero o un uno a cada una de las tres cajas que forman dicha fila, de forma que la suma total de estos n¨²meros sea un n¨²mero par. An¨¢logamente, le pedimos a Berto una asignaci¨®n de ceros y unos para las tres cajas que forman una columna al azar, sumando en este caso un n¨²mero impar. Los jugadores ganan el juego si las asignaciones realizadas coinciden en el elemento de la caja com¨²n a la fila y columna escogidas (ver Figura 2).

La dificultad de ganar reside en que los jugadores no pueden comunicarse entre s¨ª durante el juego y, por tanto, Alicia desconoce la columna que le ha tocado a Berto y la asignaci¨®n que ¨¦ste ha realizado y viceversa. No obstante, los jugadores pueden reunirse antes de empezar para pactar una estrategia. Si siguen una estrategia determinista, la asignaci¨®n que van a dar a cada fila y columna debe estar prefijada de antemano. En este caso, una estrategia perfecta (la que gana independientemente de la fila y la columna que se escoja) consistir¨ªa en rellenar el cuadrado con ceros y unos de forma que cada fila sume un n¨²mero par y a la vez cada columna sume un n¨²mero impar. Se deja como reto probar que esto es imposible (ver Figura 3) y, por consiguiente, no existe una estrategia determinista perfecta para este juego.

Sin embargo, sorprendentemente, s¨ª es f¨ªsicamente posible implementar una estrategia perfecta para ganar este juego. Hasta ahora hemos asumido impl¨ªcitamente que los sistemas f¨ªsicos compartidos por los jugadores para elaborar sus estrategias y elegir sus asignaciones se rigen por las leyes de la f¨ªsica cl¨¢sica (por ejemplo, un cuadrado con asignaciones como el de la Figura 3). Esto conduce esencialmente a estrategias deterministas. No obstante, si los jugadores pueden compartir sistemas f¨ªsicos cuyo comportamiento est¨¦ gobernado por las leyes de la mec¨¢nica cu¨¢ntica (como, por ejemplo, un par de part¨ªculas en un estado cu¨¢ntico entrelazado), entonces ser¨¢n capaces de desarrollar estrategias perfectas respetando la restricci¨®n de no comunicaci¨®n. Para ello, los jugadores realizar¨ªan las asignaciones correspondientes de acuerdo al resultado que obtendr¨ªa cada uno despu¨¦s de hacer una determinada medida sobre la part¨ªcula del estado entrelazado a la que tiene acceso.

El cuadrado m¨¢gico forma parte de una clase de juegos conocidos como juegos no locales. En ellos, la ventaja de las estrategias cu¨¢nticas sobre las cl¨¢sicas es una consecuencia directa del llamado Teorema de Bell, que establece la incompatibilidad de la teor¨ªa cu¨¢ntica con teor¨ªas deterministas locales. El ejemplo que hemos considerado da una idea intuitiva de la ventaja cu¨¢ntica en tareas de procesado de la informaci¨®n. Sobre ella se apoya el desarrollo actual de tecnolog¨ªas cu¨¢nticas tales como sistemas criptogr¨¢ficos o generadores de n¨²meros aleatorios. Sin embargo, entender qu¨¦ juegos no locales dan lugar a una ventaja cu¨¢ntica y cu¨¢l es la probabilidad ¨®ptima de victoria en cada caso requiere sumergirse de lleno en la compleja estructura matem¨¢tica de la teor¨ªa cu¨¢ntica.

De manera sorprendente, este tipo de cuestiones est¨¢n relacionadas con problemas abiertos de la matem¨¢tica pura que en su formulaci¨®n nada tienen que ver con juegos ni con la teor¨ªa cu¨¢ntica. Uno de ellos es el problema del isomorfismo de Alain Connes (Connes embbeding problem), formulado en los a?os 70 en el estudio de las llamadas ¨¢lgebras de operadores y que todav¨ªa hoy est¨¢ por resolver. Estas ¨¢lgebras aparecen por primera vez en un art¨ªculo del matem¨¢tico John von Neumann en 1930. Curiosamente, en aquella ¨¦poca von Neumann investigaba tambi¨¦n sobre los fundamentos matem¨¢ticos de la entonces incipiente mec¨¢nica cu¨¢ntica. Estas dos disciplinas, aunque desarrolladas de forma independiente, han cruzado sus caminos en varias ocasiones. Ahora, casi 100 a?os despu¨¦s de su nacimiento, vuelven a encontrarse, esta vez en el marco de la teor¨ªa de la informaci¨®n.

Este y otros temas relacionados se han tratado en el semestre tem¨¢tico que hemos organizado en el ICMAT de marzo a junio de 2019 y que ha reunido a m¨¢s de un centenar de investigadores de diversas disciplinas.

Julio de Vicente es profesor del Departamento de Matem¨¢ticas de la Universidad Carlos III de Madrid.

Fernando Lled¨® es profesor del Departamento de Matem¨¢ticas de la Universidad Carlos III de Madrid y miembro del ICMAT.

Diego Mart¨ªnez es doctorando de la Universidad Carlos III de Madrid y del ICMAT, as¨ª como becario pre-doctoral del proyecto Severo Ochoa.

Carlos Palazuelos es profesor del Departamento de An¨¢lisis Matem¨¢tico y Matem¨¢tica Aplicada de la Universidad Complutense de Madrid y miembro del ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: "Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas".

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata Tim¨®n (ICMAT).

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