El desaf¨ªo matem¨¢tico de la Loter¨ªa de Navidad: un reintegro de otro planeta

Un a?o m¨¢s Adolfo Quir¨®s Graci¨¢n, profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola, nos presenta un desaf¨ªo matem¨¢tico con ocasi¨®n del Sorteo de la Loter¨ªa de Navidad del 22 de diciembre. Puedes enviar tu respuesta hasta las 00.00 del s¨¢bado 21 de diciembre (la medianoche del viernes al s¨¢bado, hora peninsular espa?ola) a problemamatematicas@gmail.com. Ese mismo d¨ªa 21 publicaremos la soluci¨®n.

Como quiz¨¢s recuerden del desaf¨ªo del a?o pasado nuestros lectores, desde hace mucho tiempo, en una galaxia muy, muy lejana, se organiza cada a?o un sorteo muy parecido al de la Loter¨ªa de Navidad. Lo llaman G¨²gol Loter¨ªa de Navidad por el n¨²mero g¨²gol, que es 10 elevado a 100, esto es un 1 con cien ceros. Y las dos diferencias principales con nuestro sorteo son:

a) En vez de n¨²meros de 5 cifras (del 00000 al 99999), entran en el G¨²gol-bombo todos los n¨²meros de 100 cifras (desde el formado por 100 ceros al formado por 100 nueves).

b) Los G¨²gol-reintegros se basan en el G¨²gol-d¨ªgito, que para cada n¨²mero se calcula de la siguiente manera. Dado el n¨²mero, se suman todas sus cifras. Si el resultado tiene un ¨²nico d¨ªgito, hemos acabado. Si no, volvemos a sumar las cifras del n¨²mero obtenido, y repetimos hasta obtener un solo d¨ªgito, que es el G¨²gol-d¨ªgito del n¨²mero por el que empezamos. Por ejemplo, este es el d¨¦cimo de la G¨²gol Loter¨ªa que yo llevo este a?o:

(Como vemos, es el 7878787878 7878787878 7878787878 7878787878 7878787878 7878787878 7878787878 7878787878 7878787878 7878787878, un n¨²mero de cien cifras compuesto por 50 sietes y 50 ochos).

El primer c¨¢lculo nos dar¨¢ 50 x 7+ 50 x 8=750, el segundo 7+5+0=12, y por fin 1+2=3, de manera que el G¨²gol-d¨ªgito de mi n¨²mero es el 3.

Tradicionalmente obten¨ªan un G¨²gol-reintegro los n¨²meros cuyo G¨²gol-d¨ªgito coincid¨ªa con el G¨²gol d¨ªgito del Gordo, excluido el propio Gordo. El a?o pasado descubrimos que esta forma de asignar los G¨²gol-reintegros no era equitativa, ya que unos n¨²meros ten¨ªan m¨¢s posibilidades de obtenerlo que otros. Enterados de esto, los organizadores de la G¨²gol Loter¨ªa de Navidad, han decidido cambiar las normas.

A partir de 2019, ganan el G¨²gol-reintegro todos los n¨²meros cuyo G¨²gol-d¨ªgito coincide con LA TERMINACI?N del Gordo, salvo el Gordo propiamente dicho.

El desaf¨ªo que proponemos a nuestros lectores consiste en calcular qu¨¦ probabilidad tiene cada n¨²mero, con estas reglas, de obtener un G¨²gol-reintegro y, en particular, si se ha conseguido que esta probabilidad sea la misma para todos los n¨²meros. Esperamos vuestras respuestas.