El desaf¨ªo matem¨¢tico de Loter¨ªa de Navidad 2018: un sorteo gal¨¢ctico

Un a?o m¨¢s Adolfo Quir¨®s Graci¨¢n, profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola, nos presenta un desaf¨ªo matem¨¢tico en v¨ªdeo con ocasi¨®n del Sorteo de la Loter¨ªa del 22 de diciembre.

Puedes enviar tu respuesta hasta las 00.00 del viernes 21 de diciembre (la medianoche del jueves al viernes, hora peninsular espa?ola) a problemamatematicas@gmail.com. Ese mismo d¨ªa 21 publicaremos la soluci¨®n.

A continuaci¨®n, para aclarar dudas y en atenci¨®n a nuestros lectores sordos, a?adimos el enunciado del problema por escrito.

Desde hace mucho tiempo, en una galaxia muy, muy lejana, se organiza cada a?o un sorteo muy parecido al de la Loter¨ªa de Navidad. Lo llaman G¨²gol Loter¨ªa de Navidad, y las dos diferencias principales con la nuestra son:

a) Como todos los habitantes de la galaxia quieren participar, en vez de n¨²meros de 5 cifras (del 00000 al 99999), entran en el G¨²gol-bombo todos los n¨²meros de 100 cifras (desde el formado por 100 ceros al formado por 100 nueves).

b) En lugar de reintegros determinados por la cifra final del Gordo, hay G¨²gol-reintegros. Para saber qui¨¦n los recibe, se calcula para cada n¨²mero su G¨²gol-d¨ªgito de la siguiente manera. Dado el n¨²mero, se suman todas sus cifras. Si el resultado tiene un ¨²nico d¨ªgito, hemos acabado. Si no, volvemos a sumar las cifras del n¨²mero obtenido, y repetimos hasta obtener un solo d¨ªgito, que es el G¨²gol-d¨ªgito del n¨²mero por el que empezamos. Por ejemplo, este es el d¨¦cimo de la G¨²gol Loter¨ªa que yo llevo este a?o:

El primer c¨¢lculo nos dar¨¢ 50 x 8+ 50 x 7=750, el segundo 7+5+0=12, y por fin 1+2=3, de manera que el G¨²gol-d¨ªgito de mi n¨²mero es el 3.

Ganan el G¨²gol-reintegro todos los n¨²meros cuyo G¨²gol-d¨ªgito coincide con el del Gordo, salvo el Gordo propiamente dicho.

El desaf¨ªo que proponemos a nuestros lectores es doble, y s¨®lo quien conteste a las dos preguntas podr¨¢ considerar que lo ha resuelto completamente.

1) ?Por qu¨¦ se llama G¨²gol Loter¨ªa?

2) ?Tienen todos los n¨²meros la misma probabilidad de que les caiga el G¨²gol-reintegro? Dinos cu¨¢l es esa probabilidad o, si no es la misma para todos, qu¨¦ probabilidad tiene cada n¨²mero de obtener el G¨²gol-reintegro en un sorteo.

NOTA: Nuestros ordenadores terrestres no tienen capacidad para hacer una lista con los G¨²gol-d¨ªgitos de todos los n¨²meros que participan en la G¨²gol Loter¨ªa de Navidad, as¨ª que la pregunta 2 hay que resolverla dando un argumento que justifique la respuesta.

Si lo deseas, aqu¨ª puedes ver todos los desaf¨ªos anteriores.

[Hemos ocultado los comentarios en esta noticia para evitar que se publique la soluci¨®n].