Primer avance en d¨¦cadas en un problema aparentemente imposible

En los a?os 1930, el matem¨¢tico alem¨¢n Lothar Collatz observ¨® un fen¨®meno curioso experimentando con n¨²meros enteros. Parec¨ªa una propiedad sencilla, pero la demostraci¨®n general, que permitir¨ªa afirmar que todos los n¨²meros cumplen esa propiedad, se le resist¨ªa. Empez¨® a difundir el problema entre sus colegas, pero nadie pod¨ªa resolverlo. En 1950 la ciudad de Cambridge en Massachusetts (EE UU) acogi¨® el Congreso Internacional de Matem¨¢ticos, el primero despu¨¦s de la Segunda Guerra Mundial, y Collatz aprovech¨® la ocasi¨®n para compartir el problema entre los asistentes. La popularidad del enigma fue en aumento, en particular en EE UU, donde cautiv¨® y derrot¨® a grupos enteros de investigadores. Esto suscit¨® una broma recurrente, seg¨²n la cual el problema, que pas¨® a conocerse como la conjetura de Collatz, era parte de un complot para retrasar la investigaci¨®n matem¨¢tica estadounidense. Uno de los mayores expertos en la cuesti¨®n, Jeffrey Lagarias, cuenta que el famoso matem¨¢tico Paul Erd?s declar¨® que ¡°las matem¨¢ticas a¨²n no est¨¢n preparadas para tales problemas¡±. Sin embargo, hace unos meses, Terence Tao desafi¨® esta afirmaci¨®n, haciendo el primer avance importante en d¨¦cadas.

La formulaci¨®n de la conjetura es muy simple. Dado un n¨²mero entero positivo x cualquiera, se aplica la siguiente operaci¨®n (que se suele denominar funci¨®n C): si x es par se divide entre 2; si x es impar se multiplica por 3 y se suma 1. El resultado es un nuevo n¨²mero, C(x). Se puede repetir esta misma operaci¨®n con C(x), obteniendo otro n¨²mero C(C(x)), y as¨ª sucesivamente. Por ejemplo, empezando con el n¨²mero 12, aplicando este proceso se obtienen los n¨²meros 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2 ,1, etc. La conjetura de Collatz dice que, sea cual sea el n¨²mero x inicial, tras un n¨²mero finito de repeticiones de la operaci¨®n se llega a 1. Hay varios sitios web donde se puede experimentar con la conjetura.

Hasta ahora, se han obtenido solo resultados parciales que apoyan la conjetura

Las iteraciones de la funci¨®n C se pueden imaginar como un proceso en el cual cada n¨²mero entero x se va moviendo como una part¨ªcula en un sistema f¨ªsico: en el instante inicial 0 el n¨²mero x est¨¢ fijo; en el instante 1, x se ha movido a C(x); en el instante 2 se ha movido a C(C(x)), etc. Cada n¨²mero x tiene su propia trayectoria, dada por su conjunto de valores sucesivos x, C(x), C(C(x)), etc. La dificultad de la conjetura radica en que, aunque la funci¨®n C sea muy simple, las trayectorias pueden ser muy diferentes de un n¨²mero a otro, y en particular pueden ser muy err¨¢ticas y tardar mucho o muy poco tiempo en llegar a 1. Esta din¨¢mica tan compleja hace que el problema siga resistiendo a todas las herramientas y t¨¦cnicas conocidas de an¨¢lisis.

Hasta ahora, se han obtenido solo resultados parciales que apoyan la conjetura. Por ejemplo, se ha verificado con ayuda de ordenadores que la conjetura es cierta para todo entero menor que 10¹⁸. Se pueden seguir estos avances en este enlace. Adem¨¢s, se han demostrado teoremas que afirman que la conjetura es ¡°casi cierta¡± para ¡°casi todos¡± los n¨²meros enteros. Cada enunciado de este tipo da un sentido preciso a qu¨¦ se quiere decir con ¡°casi cierta¡± y ¡°casi todos¡±. Entre tales resultados, destaca un teorema demostrado por el matem¨¢tico Riho Terras en 1976. En su trabajo, Terras consider¨® el conjunto formado por los n¨²meros positivos x que tienen la propiedad de que en su trayectoria hay alg¨²n n¨²mero menor que x. Si un n¨²mero x est¨¢ en este conjunto, entonces la conjetura es ¡°casi cierta¡± para este n¨²mero, ya que su trayectoria debe pasar por debajo de x para llegar hasta 1. El teorema de Terras dice que el conjunto en cuesti¨®n tiene densidad asint¨®tica igual a 1. Es decir, que la proporci¨®n de n¨²meros enteros entre 1 y N que est¨¢n en el conjunto tiende a 1 cuando N tiende al infinito, lo cual significa que ¡°casi todos¡± los n¨²meros enteros cumplen la propiedad indicada.

Se conocen relaciones entre la conjetura y varias ¨¢reas matem¨¢ticas

Tras d¨¦cadas sin mayores avances de este tipo, en septiembre de 2019 el matem¨¢tico Terence Tao (Medalla Fields en 2006) public¨® un nuevo resultado significativo. En este trabajo, el sentido de ¡°casi todos¡± se da tambi¨¦n con cierta noci¨®n de densidad de conjuntos (la densidad logar¨ªtmica), pero el significado de ¡°casi cierta¡± es bastante m¨¢s fuerte que el de Terras. Se parte de cualquier funci¨®n f(x) que tiende al infinito cuando x tiende al infinito. Un ejemplo obvio es f(x)=x, pero hay otros ejemplos que crecen mucho m¨¢s lentamente al aumentar el valor de x, como la funci¨®n logar¨ªtmica f(x)=log(x). Para cualquier funci¨®n f de este tipo, con crecimiento tan lento como queramos, Tao ha demostrado que para casi todo n¨²mero x, hay alg¨²n n¨²mero en su trayectoria que no solo es menor que x (como afirma el teorema de Terras), sino que es menor que f(x). De esta manera, el teorema garantiza que la trayectoria de casi todo n¨²mero x pasa por alg¨²n valor mucho menor que x. Aunque esto a¨²n no demuestre que todas las trayectorias deben llegar a 1, el resultado es un avance marcado hacia la conjetura.

Este trabajo de Tao es interesante tambi¨¦n por las conexiones que establece entre el problema y el ¨¢rea de ecuaciones diferenciales parciales, dando as¨ª una nueva muestra de las sorprendentes ramificaciones de la conjetura de Collatz. Esta riqueza es uno de los aspectos atractivos del problema: se conocen relaciones entre la conjetura y varias ¨¢reas matem¨¢ticas adem¨¢s de la teor¨ªa de n¨²meros, como la teor¨ªa de la computaci¨®n, la combinatoria y la teor¨ªa de sistemas din¨¢micos.

Pablo Candela es profesor en la Universidad Aut¨®noma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: "Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas".

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata Tim¨®n (ICMAT).

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