Matem¨¢ticas, turbulencia y auroras boreales

El comportamiento de los fluidos turbulentos sigue siendo un misterio para los cient¨ªficos, lo que hace imposible realizar predicciones a largo plazo sobre su evoluci¨®n. Cuando sobre los fluidos act¨²a un campo magn¨¦tico, como es el caso del plasma que se encuentra dentro de los reactores nucleares tokamaks, o del plasma solar, se observan curiosos fen¨®menos. Un ejemplo llamativo son las inesperadas llamaradas solares, causantes de las auroras boreales que se observan en los Polos terrestres. Para comprender su formaci¨®n, es necesario entender en profundidad las ecuaciones que describen estos fluidos.

Las denominadas ecuaciones de la magnetohidrodin¨¢mica (MHD) determinan la evoluci¨®n del campo de velocidades del fluido y del campo magn¨¦tico que act¨²a sobre ¨¦l. Se obtienen combinando las ecuaciones cl¨¢sicas de los fluidos (las de Euler y Navier-Stokes) con las del electromagnetismo (las de Maxwell). Para analizarlas, los f¨ªsicos y matem¨¢ticos estudian las llamadas cantidades integrales conservadas, que en situaciones regulares ¨Ces decir, cuando el fluido no presenta comportamientos bruscos¨C se mantienen constantes (aproximadamente) a lo largo del tiempo. Un ejemplo cl¨¢sico de cantidad integral es la energ¨ªa total.

Sin embargo, en algunos problemas de hidrodin¨¢mica con presencia de turbulencia, la energ¨ªa no tiene porqu¨¦ conservarse. Matem¨¢ticamente, en estas situaciones aparecen elementos tan irregulares que no es posible aplicar los m¨¦todos habituales (es decir, derivar e integrar) para estudiar las cantidades integrales, sino que es necesario emplear otros enfoques. As¨ª lo conjeturaron en la mitad del siglo XX el matem¨¢tico Andr¨¦i Kolmogorov y Lars Onsager (premio Nobel de Qu¨ªmica en 1968).

Recientemente, Camillo De Lellis y L¨¢szl¨® Sz¨¦kelyhidi Jr han desarrollado un programa para dar rigor a las ideas de Kolmogorov y Onsager, mediante una t¨¦cnica llamada integraci¨®n convexa. Los m¨¦todos se han empleado para estudiar las ecuaciones de los fluidos en situaciones turbulentas con ¨¦xito, pero aplicar estas ideas a las ecuaciones de la magnetohidrodin¨¢mica es m¨¢s delicado, ya que aparecen otras cantidades integrales conservadas adem¨¢s de la energ¨ªa, como la helicidad cruzada y la helicidad magn¨¦tica. La primera mide c¨®mo se entrecruzan las l¨ªneas magn¨¦ticas y las l¨ªneas de flujo del campo de velocidades. La segunda describe el comportamiento topol¨®gico de las l¨ªneas magn¨¦ticas.

Para plasmas turbulentos, las simulaciones y los experimentos apuntaban a que tanto la energ¨ªa total como la helicidad cruzada se disipan de manera an¨®mala

Para plasmas turbulentos, las simulaciones y los experimentos apuntaban a que tanto la energ¨ªa total como la helicidad cruzada se disipan de manera an¨®mala. Sin embargo, parece que la helicidad magn¨¦tica se comporta de un modo distinto: en fluidos muy conductores de la electricidad, se conserva. Esta afirmaci¨®n fue conjeturada en 1974 por el f¨ªsico John Bryan Taylor y es la base de su llamada teor¨ªa de relajaci¨®n.

En un reciente art¨ªculo, Daniel Faraco ¨Cprofesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid (UAM), miembro del ICMAT y uno de los autores de este art¨ªculo¨C y Sauli Lindberg ¨Cahora en la Universidad de Helsinki, pero hasta hace unos meses, investigador en la UAM y en el ICMAT¨C prueban la conjetura de Taylor desde un punto de vista matem¨¢tico. Es decir, demuestran rigurosamente que la helicidad magn¨¦tica se conserva aproximadamente. Y precisamente por la conservaci¨®n de esta propiedad en un r¨¦gimen tan turbulento como es la actividad solar se producen las llamaradas, que despu¨¦s provocan las auroras.

La helicidad magn¨¦tica se conserva 'aproximadamente'. Y por la conservaci¨®n de esta propiedad en un r¨¦gimen tan turbulento como es la actividad solar se producen las llamaradas, que despu¨¦s provocan las auroras

Hasta la fecha parec¨ªa incompatible la obtenci¨®n de soluciones turbulentas en mec¨¢nica de fluidos con la conservaci¨®n de ninguna cantidad integral, pero gracias a estos nuevos trabajos, se ha visto que no es as¨ª. Las soluciones de las ecuaciones MHD tienen muchas estructuras ocultas y su compresi¨®n no solo permitir¨¢ entender fen¨®menos f¨ªsicos, sino desarrollar herramientas matem¨¢ticas de enorme complejidad.

Daniel Faraco es profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid (UAM) y miembro del ICMAT

?gata Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria es responsable de Comunicaci¨®n y Divulgaci¨®n del ICMAT

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: "Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas".

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata Tim¨®n (ICMAT).

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