Las matem¨¢ticas de la materia oscura
Las ecuaciones de la estabilidad de las galaxias o por qu¨¦ el cielo no cae sobre nuestras cabezas
En la investigaci¨®n del universo es una necesidad disponer de modelos matem¨¢ticos eficaces para contrastar las hip¨®tesis y las observaciones, a la vez que favorece la generaci¨®n de avances centrales en matem¨¢ticas. La fant¨¢stica relaci¨®n entre modelizaci¨®n y realidad en este campo ha atra¨ªdo hist¨®ricamente no s¨®lo a Newton, sino tambi¨¦n a Tales, Pit¨¢goras, Aristarco, Cop¨¦rnico, Galileo, Kepler, Huyghens, Euler, Lagrange, Laplace, Vlasov, Maxwell, Boltzmann y Einstein.
Uno de los problemas cruciales en este ¨¢mbito y que constituye la motivaci¨®n de este art¨ªculo es el de la estabilidad de las galaxias. Las interacciones complejas gravitacionales entre las part¨ªculas de materia visible y no visible hacen dif¨ªcil imaginar una galaxia en equilibrio o, como dir¨ªan Asterix y Obelix, "?se nos caer¨¢ el cielo sobre nuestras cabezas?".
La materia oscura es de composici¨®n desconocida y no emite o refleja radiaci¨®n electromagn¨¦tica como para ser observada directamente
La materia no visible
?Qu¨¦ es eso de la materia no visible? En los movimientos de las galaxias, supuesto que ¨²nicamente existiese materia visible, se ha observado que la energ¨ªa cin¨¦tica total es mucho mayor que la esperada; en particular el gas intergal¨¢ctico alejado del centro de las galaxias tiene velocidades mucho mayores que las que podr¨ªa esperarse de la masa visible. En consecuencia, la din¨¢mica de la galaxia no se puede explicar s¨®lo mediante la materia visible. Este hecho y otras observaciones sugieren el concepto de materia oscura, es decir, de materia de composici¨®n desconocida que no emite o refleja radiaci¨®n electromagn¨¦tica como para ser observada directamente, pero cuya existencia puede inferirse a partir de los efectos gravitacionales que causa en la materia visible -estrellas, gas o galaxias-.
S¨®lo aproximadamente el 4% de la densidad de energ¨ªa total en el universo (inferido de los efectos gravitacionales) se puede observar directamente; el resto es materia y energ¨ªa oscura, 24% y 72%, respectivamente. La materia oscura juega por lo tanto un papel central en la formaci¨®n de estructuras y la evoluci¨®n de galaxias. La materia oscura asociada a las galaxias forma los llamados halos de materia oscura. ?Es la materia oscura la responsable del equilibrio gal¨¢ctico?
Los primeros modelos matem¨¢ticos de configuraci¨®n de galaxias en los que se incorporan halos de materia oscura se basan en el estudio de la interacci¨®n gravitatoria de N-cuerpos. Los problemas de din¨¢mica de N-cuerpos tienen su origen en la mec¨¢nica de Newton y Lagrange, han motivado importantes estudios a lo largo de la historia, siendo una de sus aplicaciones la de situar sat¨¦lites artificiales en ¨®rbitas estables con respecto a la influencia gravitacional de la Tierra y la Luna.
Cuando el n¨²mero de cuerpos es muy grande (en nuestro caso hablamos de miles de millones) el problema debe abordarse mediante t¨¦cnicas de aproximaci¨®n num¨¦rica.
El sistema de ecuaciones 'Boltzmann-Poisson'
Nuestro punto de vista ha consistido en asociar a un determinado tipo de soluciones de un sistema de ecuaciones llamado de Boltzmann-Poisson el problema de encontrar configuraciones estables para galaxias con halos de materia oscura. El modelo incorpora las interacciones gravitacionales de un n¨²mero muy grande de cuerpos y, por lo tanto, la estructura interna asociada a las galaxias.
La colaboraci¨®n entre astrof¨ªsicos y matem¨¢ticos, potencialmente interesante, se convierte en f¨¦rtil cuando el resultado concuerda, con errores inferiores al 3%, con los datos observables. Adem¨¢s, los resultados trascienden a estos ajustes y demuestran ser de utilidad para efectuar predicciones en los l¨ªmites de aplicabilidad de los modelos de N-cuerpos (en el centro y en los l¨ªmites de los halos); asimismo son m¨¢s flexibles y vers¨¢tiles, ya que no s¨®lo incluyen configuraciones esf¨¦ricas sino tambi¨¦n el¨ªpticas o espirales que est¨¢n en el ¨¢mbito de las observaciones. Estas soluciones son estables ya que son soluciones de m¨ªnima energ¨ªa y m¨¢xima entrop¨ªa (una medida del desorden). As¨ª que, por ahora, parece que el cielo no se caer¨¢ sobre nuestras cabezas.
En conclusi¨®n, sabemos a¨²n bastante poco sobre este tema, quiz¨¢s s¨®lo una cosa: hay mucho trabajo multidisciplinar por hacer y ¨¦ste es realmente fascinante.
Eduardo Battaner y Juan Soler son, respectivamente, catedr¨¢ticos de Astronom¨ªa y Astrof¨ªsica y de Matem¨¢tica Aplicada de la Universidad de Granada
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