Siempre hay una recta para cualquier reloj

Elisa Lorenzo, estudiante de doctorado de la Polit¨¦cnica de Catalu?a, plantea y resuelve el cuarto desaf¨ªo matem¨¢tico de EL PA?S con el que celebramos el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola(ver v¨ªdeo del planteamiento a la izquierda de la p¨¢gina y v¨ªdeo de la soluci¨®n a la derecha). Para evitar dudas y en atenci¨®n tambi¨¦n a nuestros lectores sordos incluimos la demostraci¨®n por escrito y otras posibles soluciones que han enviado nuestros lectores. El ganador esta semana de una biblioteca matem¨¢tica como la que cada domingo difunde EL PA?S es Olivier Georg, que reside en Ando¨¢in (Guip¨²zcoa). En total han llegado 1.273 soluciones, aproximadamente la mitad de ellas correctas. Hoy plantearemos un nuevo problema.

Recordemos que el problema ped¨ªa demostrar que si pintamos los doce n¨²meros de un reloj con dos colores, seis de rojo y seis de azul, siempre habr¨¢ una recta que divida la esfera en dos mitades dejando tres de cada color en cada uno de los lados. Esta es la soluci¨®n que propone Elisa Lorenzo. Muchos lectores han llegado a la misma demostraci¨®n o a otras an¨¢logas.

Partamos de una recta cualquiera que divida al reloj por la mitad dejando 6 n¨²meros a cada lado. Y seleccionemos una de las dos mitades. Fij¨¦monos en el n¨²mero de n¨²meros pintados de rojo en dicha mitad, si este n¨²mero fuese 3, esta recta cumplir¨ªa ya las condiciones del problema. Supongamos pues que no es 3, y que por ejemplo es 4. Entonces en la otra mitad habr¨¢ 6 - 4 = 2 n¨²meros pintados de rojo.

Vayamos girando la recta en el sentido de las agujas del reloj poco a poco, de modo que vamos dejando un n¨²mero fuera de la mitad inicial y vamos cogiendo un n¨²mero nuevo. En esta nueva mitad el n¨²mero de n¨²meros rojos ser¨¢, el mismo si hemos quitado y a?adido n¨²meros del mismo color, o habr¨¢ variado en m¨¢s o menos uno si hemos a?adido y quitado n¨²meros de distinto color.

Cuando hayamos girado la recta 180? estaremos considerando la mitad opuesta a la primera que hab¨ªamos considerado, que ten¨ªa 2 n¨²meros pintados de rojo. Luego nos hemos movido de una mitad que ten¨ªa 4 n¨²meros pintados de rojo a una que tiene 2 n¨²meros pintados de rojo movi¨¦ndonos de uno en uno, as¨ª necesariamente hemos pasado por una mitad que ten¨ªa 3 n¨²meros pintados de rojo. La recta que determinaba esta mitad cumple las condiciones pedidas por el problema.

Si la mitad inicial hubiese tenido 0, 1, 2, 5 ¨® 6 n¨²meros pintados de rojo el razonamiento es completamente an¨¢logo.

Algunos lectores han enviado soluciones basadas en la casu¨ªstica, como esta que nos ha mandado Jes¨²s Garc¨ªa Gual.

En vez de rectas hablaremos de di¨¢metros que dividen el c¨ªrculo en dos semic¨ªrculos, cada uno con seis n¨²meros.

Vayamos consiguiendo acercamientos al resultado. Podemos suponer que hay dos n¨²meros seguidos (el 12 y el 1 se consideran seguidos) con igual color, ya que si no, los colores ser¨ªan alternados y cualquier di¨¢metro que no pisa n¨²meros verifica lo que queremos. As¨ª que sin perder generalidad supongamos que el 3 y el 4 son rojos. Trazamos un di¨¢metro que pase entre 2 y 3.

Si desde 3 hasta 8 s¨®lo el 3 y 4 son rojos, significa por un lado que del 5 al 8 son azules, y que del 9 al 2 hay cuatro rojos y dos azules. Si el 2 es rojo, resolvemos el problema girando el di¨¢metro cogido 30? alrededor del centro de la circunferencia en sentido antihorario (trazamos un di¨¢metro entre 1 y 2). Si el 2 es azul y el 1 rojo, habr¨¢ que girar un ¨¢ngulo de 60? (di¨¢metro entre 12 y 1). Y si el 2 y el 1 son azules el giro de 90? resolver¨¢ el problema (di¨¢metro entre 11 y 12).

Si desde 3 hasta 8 s¨®lo hay tres rojos (el 3 y el 4 y otro m¨¢s) nuestro di¨¢metro nos vale.

Si desde 3 hasta 8 s¨®lo hay cuatro rojos, de 9 a 2 hay s¨®lo dos rojos. Si 9 es azul, bastar¨¢ con girar nuestro di¨¢metro 30? en sentido horario (di¨¢metro entre 3 y 4). Si 9 es rojo y 10 azul, giraremos 60? (di¨¢metro entre 4 y 5). Si 9 es rojo y 10 rojo, entonces entre 9 y 2 hay dos rojos seguidos (9 y 10) y s¨®lo dos rojos, luego ya estamos en un caso estudiado y resuelto.

Si desde 3 hasta 8 hay s¨®lo cinco rojos, desde 9 hasta 2 hay un solo rojo. Si 2 es rojo, giramos el di¨¢metro de partida 60? en sentido horario (di¨¢metro entre 4 y 5). Si 2 es azul y 1 es rojo, giramos tambi¨¦n 60? (entre 4 y 5). Si 2 y 1 son azules, entonces entre 1 y 6 hay dos rojos seguidos (3 y 4) y tres o cuatro rojos (casos ya estudiados).

Si desde 3 hasta 8 los seis son rojos, bastar¨¢ con trazar un di¨¢metro perpendicular al de partida.

Por ¨²ltimo, destacamos por su originalidad y sencillez la soluci¨®n presentada por Mar¨ªa Teresa Trobajo de las Matas.

Dividimos el reloj en cuatro partes iguales, con dos rectas que pasan por el centro. Una de estas dos rectas va a ser soluci¨®n del problema en la mayor¨ªa de los casos. Denotamos a estas partes (1), (2), (3) y (4). Cada una de estas partes contiene tres n¨²meros:

(1)|(2)

_____

(3)|(4)

Contamos cu¨¢ntos n¨²meros de un determinado color (por ejemplo ROJO) hay en cada parte. Las diferentes posibilidades son soluciones de:

x1+x2+x3+x4=6 con 0 <=xi<=3

Construimos la recta para las distintas soluciones de esta ecuaci¨®n:

(a) Soluci¨®n (3,3,0,0) y todas sus permutaciones: TRIVIAL. Una de las dos rectas iniciales es v¨¢lida, pues separa 3+0 Rojos de otros 3+0.

(b) Soluci¨®n (3,2,1,0) y todas sus permutaciones:

*Si 3 y 0 son contiguos, como en el caso anterior, una de las dos rectas es v¨¢lida, separa 3+0 Rojos de otros 2+1.

*Si 3 y 0 no son contiguos, est¨¢n en cuadrantes enfrentados, por ejemplo

3|1

_____

2|0

se resuelve tomando la recta que divide el cuadrante que tiene 3 rojos, pasando uno al contiguo que tiene 2 y dos al contiguo que tiene uno.

(c) Soluci¨®n (3,1,1,1) y sus permutaciones: contando azules ser¨ªan (0,2,2,2). Tomando la recta que divide a los dos azules del cuadrante enfrentado con el que no tiene azules, se acaba.

(d) Soluci¨®n (2,2,2,0) y sus permutaciones: Como el anterior.

(e) Soluci¨®n (2,2,1,1) y sus permutaciones: Una de las rectas que dividen los cuadrantes es v¨¢lida, pues divide 2+1 Rojos y 2+1 Rojos.

Un reloj de dos colores

Siempre hay una recta para cualquier reloj