Un piano gigantesco

Jos¨¦ Garay, profesor de la Universidad de Zaragoza, presenta el s¨¦ptimo desaf¨ªo de EL PA?S con el que celebramos el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. Las respuestas pueden enviarse a problemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del lunes 2 de mayo (00.00 horas del martes). Entre los acertantes sortearemos una biblioteca matem¨¢tica como la que ofrece cada semana EL PA?S. Este domingo, por 9,95 euros con el peri¨®dico en el quiosco, La cuarta dimensi¨®n, de Ra¨²l Ib¨¢?ez.

Nota importante: Para evitar dudas y en atenci¨®n a nuestros lectores sordos, incluimos a continuaci¨®n el enunciado del problema por escrito.

Enunciado: Sabemos que al pulsar las teclas blancas de un piano se reproducen peri¨®dicamente las siete notas de la escala musical Do, Re, Mi, Fa, Sol, La y Si. Por lo tanto aunque el piano tenga muchas teclas, solamente podemos escuchar las siete notas de la escala, eso s¨ª, en diversas octavas. Los pianos reales tienen un n¨²mero limitado de teclas, pero para nuestro problema vamos a imaginar un piano con un teclado tan largo como nos sea necesario. E imaginaremos que pulsamos S?LO las teclas blancas.

Primero pulsamos el primer Do que tenemos por la izquierda. A continuaci¨®n pulsamos la siguiente tecla, que naturalmente ser¨¢ un Re. Luego saltamos una tecla y tocamos el Fa. Ahora saltamos dos teclas y tocamos el Si. Seguidamente saltamos tres teclas y tocamos el Fa, ya en la segunda octava. Y continuamos el proceso saltando cada vez una tecla m¨¢s que la vez anterior. Como hemos supuesto que nuestro piano tiene tantas teclas como queramos supongamos que hemos llegado a tocar 7.000 teclas. Y hacemos dos preguntas:

1. ?Cu¨¢ntas teclas habremos tocado que corresponden a la nota Do?

2. ?Habr¨¢ alguna nota que no haya sido pulsada en ning¨²n momento?

Aclaraci¨®n: Por si acaso alguien se confunde y piensa que nuestro piano tiene solo 7.000 teclas, hemos de insistir en que 7.000 es el n¨²mero de teclas que tocamos, y dado que entre dos teclas pulsadas hay muchas que no se tocan, se deduce que nuestro imaginario piano tiene muchas m¨¢s que esas 7.000. Y aunque este n¨²mero no es necesario para resolver el problema podemos afirmar que el piano debe tener unos 24 millones y medio de teclas blancas.

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