El cubo de suma cero... no existe
Y aqu¨ª te explicamos algunas posibles demostraciones
Ya hay ganador del octavo desaf¨ªo que organiza EL PA¨ªS en el primer centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. Se trata de Diego Mart¨ªnez Mart¨ªnez, de Soria, al que felicitamos y al que enviaremos una biblioteca matem¨¢tica como la que se ofrece el domingo con EL PA?S. Esta semana, por cierto, se entrega Una nueva manera de ver el mundo, de Mar¨ªa Isabel Binimelis, por 9,95 euros con EL PA¨ªS.
Recordemos el problema: asignamos un n¨²mero (1 o -1) a cada uno de los v¨¦rtices de un cubo. Tendremos entonces ocho n¨²meros. A continuaci¨®n multiplicamos los cuatro v¨¦rtices de cada cara para obtener otros seis n¨²meros, que tambi¨¦n tendr¨¢n que ser 1 o -1. Pues bien, se trataba de conseguir un cubo en que la suma de esos 14 n¨²meros d¨¦ cero. O demostrar en su caso por qu¨¦ dicho cubo no puede existir.
Y, efectivamente, ese cubo no puede exisitir... pero hay que demostrarlo. Para este desaf¨ªo se recibieron 980 respuestas dentro del plazo previsto, de las que el 85% eran correctas. La mayor¨ªa daban soluciones similares a la de Izar y Paula (ver v¨ªdeo de la derecha), alumnas de 4? de la ESO e integrantes del proyecto ESTALMAT pero un cierto n¨²mero razonaban correcta y elegantemente de esta manera: Para que la suma de los 14 valores d¨¦ 0, debe haber siete +1 y siete -1, de manera que el producto de los 14 n¨²meros debe ser -1. Pero si llamamos A, B, C, D, E, F, G, H a los valores de los v¨¦rtices, como cada v¨¦rtice incide en tres caras distintas, resulta que si multiplicamos los 14 valores obtenemos (ABCDEFGH)^4, una potencia cuarta y por tanto necesariamente un n¨²mero positivo, lo que es contradictorio con este producto debiese ser -1. Por tanto el cubo de suma cero no puede existir.
Aproximadamente un 5% de las respuestas hace un c¨¢lculo caso a caso (alguno a mano, la mayor¨ªa con ordenador). Como en el problema del piano, por ser una situaci¨®n finita esto es una demostraci¨®n, y se han considerado como respuestas v¨¢lidas que han entrado en el sorteo. No obstante, citaremos lo que dice uno de los lectores que han contestado as¨ª: "El resultado es que nunca da 0. ?El por qu¨¦?, no lo s¨¦. Pero he hecho las 256 combinaciones posibles y en ninguna da cero." Hacer las cuentas caso a caso ayuda a decidir cu¨¢l debe ser la soluci¨®n, pero animamos a nuestros lectores a dar el paso de disfrutar entendiendo el porqu¨¦ de las soluciones a los retos que se proponen.
Hoy jueves plantearemos el noveno desaf¨ªo.
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