Basta una sola pesada de tornillos

Ya hay soluci¨®n para el und¨¦cimo desaf¨ªo matem¨¢tico con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. Varios ni?os del IES Alameda de Osuna de Madrid propusieron el problema (ver v¨ªdeo de la izquierda) y lo resuelven ahora (v¨ªdeo de la derecha): es posible hacerlo en una sola pesada eligiendo bien el n¨²mero de tornillos que se extraen de cada caja (de hecho hay cuatro soluciones posibles). La ganadora de una biblioteca matem¨¢tica como la que entrega cada semana EL PA?S ha sido en esta ocasi¨®n Antonia Rodr¨ªguez Paredes, Montcada i Reixac (Barcelona). Este domingo, en el quiosco, por 9,95 euros con el peri¨®dico, La armon¨ªa es num¨¦rica (m¨²sica y matem¨¢ticas), de Javier Arbon¨¦s y Pablo Milrud.

Recordemos el enunciado del problema: Tenemos seis cajas con 13 tornillos cada una. En tres cajas los tornillos pesan seis gramos cada uno y en las otras tres los tornillos pesan cinco gramos cada uno (todos los tornillos de cada caja pesan lo mismo), pero las cajas tienen todas el mismo aspecto. Tenemos tambi¨¦n una b¨¢scula de precisi¨®n a nuestra disposici¨®n (no una balanza) donde podemos pesar los tornillos que queramos. ?Cu¨¢l es el m¨ªnimo n¨²mero de veces que necesitamos utilizar la b¨¢scula para saber qu¨¦ cajas contienen los tornillos de cinco gramos y de qu¨¦ manera se har¨ªa?

La soluci¨®n es que puede conseguirse con una solo pesada. En ella incluiremos un n¨²mero diferente de tornillos de cada caja (entre el 0 y el 13). Si el total de tornillos que pesamos es N, el peso ser¨¢ 5xN m¨¢s el n¨²mero de tornillos que hayamos usado de las 3 cajas con tornillos de 6 gramos.

Probemos primero con un tornillo de la primera, dos de la segunda, tres de la tercera... En total tendremos 21 tornillos en la b¨¢scula y, por tanto marcar¨¢ 21 X 5 = 105 gr mas un gramo por cada tornillo de las cajas de 6 gramos que hayamos puesto. Si la b¨¢scula marcara 112 gr sabr¨ªamos que hay 7 tornillos de 6 gramos y, como 7 = 1 + 2 +4, los tornillos de 6 gramos estar¨ªan en las cajas a, b y d. Lo malo es que si la b¨¢scula marca, por ejemplo, 114 gr sabr¨ªamos que hay 9 tornillos de 6 gramos pero como 9 se puede escribir de muchas formas distintas como suma de tres de esos n¨²meros (9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 2 +3 + 4) no podemos saber de qu¨¦ cajas los he cogido.

As¨ª que, para evitar confusiones, tenemos que conseguir 6 n¨²meros entre 0 y 13 de manera tal que las sumas de tres de ellos sean siempre n¨²meros distintos. Para ello se debe cumplir adem¨¢s que la suma de dos de ellos sean distintas (si por ejemplo en mi lista esta tengo 1, 2, 3, 4 y dos n¨²meros m¨¢s , como 1 + 4 = 2 + 3 usando otro de los n¨²meros tendr¨¦ dos ternas -grupos de tres- que suman lo mismo).

El desaf¨ªo, tal y como est¨¢ planteado, admite cuatro posibles soluciones: 0, 1, 2, 4, 7, 13 y su complementaria (restando de 13) 0, 6, 9, 11, 12, 13, que son las dos que aparecen en el v¨ªdeo, y tambi¨¦n 0, 1, 2, 7, 10, 13 y su complementaria 0, 3, 6, 11, 12, 13. La primera, la que encuentran nuestros j¨®venes presentadores, es la que requiere pesar menos tornillos. Decimos que hay s¨®lo cuatro soluciones porque no importa de qu¨¦ caja se tome cada n¨²mero de tornillos. Si queremos tomar en consideraci¨®n las 720 maneras en que podemos ordenar las cajas las soluciones ser¨ªan 2880.

Se han recibido 1.040 respuestas, de las que el 55% son correctas, un 30% no han conseguido dar con la estrategia acertada y el 15% apuntan a que hay que buscar 6 n¨²meros de manera que sus sumas 3 a 3 sean todas distintas (esto est¨¢ bien), pero los n¨²meros que dan no funcionan. Vale la pena se?alar que algunos lectores apuestan por la base 2, lo que en principio es una buena idea porque permite resolver problemas m¨¢s generales, y proponen como soluci¨®n 0, 1, 2, 4, 8, 16 (o 1, 2, 4, 8, 16, 32). Pero en nuestro desaf¨ªo cada caja tiene s¨®lo 13 tornillos.

Queremos destacar la manera en que ha resuelto el problema, encontrando todas las soluciones, Rodrigo Rivas Costa, porque es un buen ejemplo de que el pensamiento abstracto y los m¨¦todos modernos de c¨¢lculo no est¨¢n re?idos. Rodrigo empieza por tener la idea de que quiz¨¢s pueda hacerlo en una pesada tomando un n¨²mero adecuados de tornillos de cada caja. Observa que hay 20 maneras en las que pueden estar distribuidos los tornillos de 5 y 6 gramos, y que lo que necesita es que el peso de los tornillos que pone en la b¨¢scula sea distinto en cada uno de los 20 casos. Tiene por tanto que buscar 6 n¨²meros entre 0 y 13 con esas condiciones.

En principio hay 14^6=7.529.536 colecciones de 6 n¨²meros entre 0 y 13 pero, dice Rodrigo, el orden no importa y, adem¨¢s no puede haber dos n¨²meros iguales en la lista porque se producir¨ªan repeticiones en las pesadas, as¨ª que s¨®lo hay que probar con 3003 casos. Se?ala tambi¨¦n que puede restar 5 gramos a cada tornillo y trabajar con pesos 0 y 1; por eso son las suma de 3 n¨²meros las que deben ser distintas. Hasta aqu¨ª tenemos la idea inicial (que es lo m¨¢s importante) y una serie de razonamientos abstractos (todo esto valdr¨ªa en otras situaciones).

Dice ahora Rodrigo "Como 3003 es un n¨²mero razonablemente peque?o, una selecci¨®n de tornillos v¨¢lida se puede buscar a mano, por tanteo, o con un programa de ordenador. He optado por escribir un programa de ordenador que recorra esas 3003 combinaciones, y as¨ª he encontrados todas las selecciones de tornillos v¨¢lidas, que son 4 [las que hemos indicado anteriormente]".

Jos¨¦ Luis S¨¢nchez del Villar, como otros lectores, nos pregunta: "?Os hab¨¦is acordado de marcar los tornillos antes de pesarlos o de no mezclar los de distintas cajas en el platillo de la b¨¢scula? Son id¨¦nticos (si no, bastar¨ªa una pesada para ver qu¨¦ tipo de tornillo pesa 5 gramos) as¨ª que si se mezclan no habr¨¢ manera de separarlos." y propone "se pueden marcar con una lima: la marca se puede hacer todo lo peque?a que queramos para no afectar a la medici¨®n, o mejor todav¨ªa, se puede usar la lima de manera que las virutas caigan en el platillo, as¨ª la medida seguir¨ªa siendo correcta."

Bel¨¦n, Dana, Daniel, Irene, Javier, Jimena y Patricia s¨ª se hab¨ªan percatado de este problema y hab¨ªan pintado de distintos colores las cabezas de los tornillos, pero dificultades t¨¦cnicas en la grabaci¨®n impidieron mostrarlo. La soluci¨®n al desaf¨ªo es un ejemplo sencillo de Conjunto de Sidon, un tema activo de investigaci¨®n.

El jueves plantearemos un nuevo reto.

Una sola pesada, cuatro posibles combinaciones

Pesando tornillos