Un cuadrado de 20 coches en cada lado

Ya hay soluci¨®n para el duod¨¦cimo desaf¨ªo matem¨¢tico con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. Josefa Ram¨ªrez Rodr¨ªguez, licenciada en matem¨¢ticas por la Universidad de Extremadura y responsable de Sistema de Informaci¨®n en el RACC plante¨® el problema (ver v¨ªdeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (v¨ªdeo de la derecha): en la exhibici¨®n de coches participar¨¢n 400 veh¨ªculos, que en principio formaban un cuadrado de 20x20 y que terminar¨¢n formando un rect¨¢ngulo de 25x16 autom¨®viles. La soluci¨®n es ¨²nica, tal y como cuenta Josefa en el v¨ªdeo de la derecha y como demostraremos a continuaci¨®n (porque esta semana s¨ª estaba claro que hab¨ªa que justificar la respuesta).

El ganador de una biblioteca matem¨¢tica como la que entrega cada semana EL PA?S ha sido en esta ocasi¨®n Luis Alonso Albir, de Madrid, que nos escribe nada menos que desde la Guayana Francesa. Aprovechamos este detalle para recordar que aceptaremos respuestas procedentes de cualquier lugar del mundo. Eso s¨ª, aunque las matem¨¢ticas tienen un lenguaje universal, preferimos que la explicaci¨®n se env¨ªe en castellano, pues hemos tenido serios problemas para entender otros idiomas (pero si la entendemos y es correcta tambi¨¦n entrar¨ªa en sorteo, ojo). Este domingo, en el quiosco, por 9,95 euros con el peri¨®dico, La certeza absoluta y otras ficciones, de Pere Grima

Nuestra demostraci¨®n es la siguiente. Vamos a suponer que n es el n¨²mero de veh¨ªculos en cada lado del cuadrado incial, n+5 el n¨²mero de veh¨ªculos en uno de los lados del rect¨¢ngulo final y k el n¨²mero de veh¨ªculos en el otro lado del rect¨¢ngulo.

Si n^2 = (n+5) k, entonces n+5 divide a n^2 pero como claramente n+5 divide a (n+5)(n-5) = n^2 -25, necesariamente n+5 ha de dividir a 25 = n^2 -(n+5)(n-5) y, como los ¨²nicos divisores de 25 son 1, 5 y 25, se deduce que necesariamente n+5 = 25 y, por tanto, n = 20. Es decir, podemos afirmar con total seguridad que participar¨¢n 400 coches. Es m¨¢s, se puede ver que n+5 divide a n^2 si y s¨®lo si n+5 divide a 25.

Esta demostraci¨®n tan sencilla, nos indica que si, en lugar de 5, hubi¨¦ramos pedido que se aumentara en un n¨²mero primo p de filas, la respuesta hubiera sido que s¨ª se puede decir con total seguridad que participar¨ªan (p^2 -p)^2 coches, mientras que si hubi¨¦ramos dicho que se aumentara en un n¨²mero K que no es primo la respuesta hubiera sido que no se pod¨ªa decir con total seguridad, pues el n¨²mero de posibilidades que tendr¨ªamos ser¨ªan el n¨²mero de divisores de K^2 mayores estrictamente que K, ya que bastar¨ªa con que n+K fuera divisor de K^2 y el n¨²mero de ¨¦stos es mayor que 1.

Hemos querido, no obstante, dar una demostraci¨®n (larga) que pensamos pod¨ªan intentar nuestros lectores y que daba la clave sobre qu¨¦ es lo que ten¨ªan que probar. Tambi¨¦n podr¨ªamos haber optado por realizar la divisi¨®n n^2 /(n+5) y habr¨ªamos obtenido k = n^2 /(n+5) = n-5 + 25/(n+5) de donde claramente se obtiene que n+5 ha de dividir a 25. Equivocadamente pensamos que la divisi¨®n de polinomios no ser¨ªa el camino que se seguir¨ªa, pero ¨¦sta ha sido la soluci¨®n elegida por un 10% de los acertantes. ?Enhorabuena!

Se han recibido 1.865 respuestas de las cuales un 60% aproximadamente han sido correctas. De las incorrectas, el 90% han acertado la soluci¨®n de 400 coches pero no han demostrado que solo hay una soluci¨®n (o bien no lo han intentado o bien la demostraci¨®n que dan no es correcta) por lo que no han entrado en sorteo.

De las soluciones correctas, la opci¨®n m¨¢s elegida (un 60% de los acertantes) ha sido la siguiente:

Si n^2 = (n+5)(n-j), se tiene que 5j = n(5-j) y, por tanto, n = 5j/(5-j). Luego, j s¨®lo puede ser 1, 2, 3 ¨® 4. Substituyendo estos 4 valores se ve que la ¨²nica soluci¨®n que da n un n¨²mero natural es j = 4.

Esta demostraci¨®n ha sido muy sencilla debido a que 5 es un n¨²mero muy peque?o y, aunque no permite visualizar de forma inmediata que la propiedad importante en 5 es la de ser un n¨²mero primo, s¨ª demuestra que, a veces, un cambio en la notaci¨®n (k = n-j) simplifica los c¨¢lculos.

Aquellos concursantes que han optado por el camino largo expuesto en nuestra primera opci¨®n, o bien han cometido un error que les ha llevado a concluir que no se pod¨ªa decir con total seguridad el n¨²mero de coches que participaban en la exhibici¨®n, o bien han optado por otra demostraci¨®n larga y que consiste en resolver la ecuaci¨®n de segundo grado resultante n^2 -nk-5k = 0, lo cual les ha llevado a tener que demostrar cu¨¢ndo k satisface que k (k+20) es un cuadrado perfecto. En la mayor¨ªa de los casos, han probado que k = 16 lo satisface pero no han sabido probar la unicidad (la soluci¨®n ¨²nica), salvo en casos excepcionales como precisamente el ganador del concurso Luis Alonso Albir o, por ejemplo, Paula Gonz¨¢lez G¨®mez o Alfonso Jes¨²s Poblaci¨®n S¨¢ez, que lo han probado de una forma muy elegante.

Finalmente, en este problema ni los ficheros Excel, ni los programas inform¨¢ticos que buscan los n¨²meros n tales n^2/(n+5) es un n¨²mero natural sirven para probar la unicidad de la soluci¨®n aunque se programen hasta n = 1.000 como nos dice un concursante y se argumente que con eso basta, pues no hay ning¨²n sitio donde se pueda hacer una exhibici¨®n de 1.000.000 coches, lo cual, aunque totalmente cierto y nos hace sonre¨ªr, no podemos darlo por correcto.

Queremos enviar, por ¨²ltimo, muchos ¨¢nimos a Jes¨²s Gonz¨¢lez Santos para que consiga que sus hijos se interesen por la matem¨¢ticas. El pr¨®ximo jueves tendr¨¢ una nueva ocasi¨®n para instruirlos con nuestro decimotercer desaf¨ªo.

Un cuadrado de 400 coches de carreras

Una exhibici¨®n de coches de carreras