Una camisa bordada en ¨¢ngulo de 4,5?

Ya hay soluci¨®n para el decimotercer desaf¨ªo matem¨¢tico con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. Dos estudiantes de Estalmat-Catalunya, Andrea Isern Granados, alumna de 3? de ESO en el Instituto Salvador Espriu de Barcelona, y Silvia Martos Baeza, alumna de 3? de ESO en el Instituto Cubelles, de Cubelles (Garraf, Barcelona), plantearon el problema (v¨ªdeo de la izquierda) y ahora lo resuelven (v¨ªdeo de la derecha). Se han recibido 850 respuestas, de las que un 76% son correctas. La mayor¨ªa de las incorrectas lo son por no haberse dado cuenta de que no se puede hacer el dise?o con 21 puntadas.

El ganador de una biblioteca matem¨¢tica como la que reparte EL PA?S es Pascual Peir¨® Codina, de Zaragoza. Esta semana, en el quiosco con 9,95 euros con el peri¨®dico, La verdad est¨¢ en el l¨ªmite, de Antonio Jos¨¦ Dur¨¢n. Excepcionalmente, esta semana el ganador se lleva otro regalo sorpresa, una camiseta bordada exactamente como la que resulta de la soluci¨®n del problema, gentileza, todo hay que decirlo, de Brodats fil a fil.

Recordemos el enunciado del problema y sus tres preguntas.

Se quiere dise?ar un adorno bordado para una camiseta siguiendo el esquema y las condiciones siguientes:

a) Las puntadas se realizar¨¢n en zigzag entre dos rectas que forman un ¨¢ngulo alfa (ver dibujo en el v¨ªdeo).

b) La primera puntada empezar¨¢ en el punto O, com¨²n a las dos rectas, y acabar¨¢ en una de las rectas (que llamaremos horizontal).

c) Todas las dem¨¢s puntadas deber¨¢n tener la misma longitud y se trazar¨¢n sin superponerse ni volver hacia atr¨¢s.

d) La ¨²ltima puntada debe ser perpendicular a la l¨ªnea horizontal.

e) Queremos dar exactamente 20 puntadas.

Primera pregunta: ?Cu¨¢l debe ser el ¨¢ngulo alfa para que se cumplan esas condiciones?

Con la primera y la segunda puntada se dibuja un triangulo is¨®sceles. Los dos ¨¢ngulos iguales de este tri¨¢ngulo medir¨¢n alfa. El tercer ¨¢ngulo, por lo tanto, sera 180?-2 alfa (los tres ¨¢ngulos de un tri¨¢ngulo suman 180?, como sabemos).

Con la segunda y la tercera puntadas queda dibujado otro tri¨¢ngulo is¨®sceles. Uno de sus ¨¢ngulos iguales, adyacente y suplementario al anterior medira 2 alfa. Por tanto el tercer ¨¢ngulo de este tri¨¢ngulo sera 180?-4 alfa. Con la tercera y cuarta puntadas queda dibujado otro triangulo isosceles, Uno de sus ¨¢ngulos, mas el ¨¢ngulo anterior de 180?-4 alfa; mas otro angulo igual a alfa deben sumar un angulo llano. Por lo tanto este ¨¢ngulo y el que es igual a ¨¦l en el triangulo is¨®sceles mediran 3 alfa.

Si razonamos de la misma forma veremos que el ¨¢ngulo agudo que forma la quinta puntada con la recta horizontal es 4 alfa, el que forma la sexta puntada con la recta inclinada es 6 alfa y as¨ª sucesivamente.

Queremos que la vig¨¦sima puntada sea perpendicular a la recta horizontal. Dado que todas las puntadas pares acaban en la recta inclinada, lo mismo sucedera con la vig¨¦sima, la cual, por lo que acabamos de decir, formara un ¨¢ngulo igual a 19 alfa con la recta inclinada. Y como la ¨²ltima puntada es perpendicular a la l¨ªnea horizontal -formar¨¢ un ¨¢ngulo de 90? respecto a ella- y los tres ¨¢ngulos del tri¨¢ngulo deben sumar 180? tenemos que: alfa +19 alfa + 90¡ã=180¡ã, de donde alfa =4,5¡ã.

Segunda pregunta: Si la distancia entre O y el punto de la horizontal por donde pasa la ¨²ltima puntada fuera de 25 cm ?Cu¨¢l ser¨ªa la longitud de cada puntada?

Consideremos A el origen de la ¨²ltima puntada y B el final de la ¨²ltima puntada.

Si OA = 25 cm y AB = l es la longitud de la puntada, tendremos tan 4,5¡ã=l / 25 de donde l= 25 x tan 4,5?. La calculadora nos da l = 1.9675427 que convendr¨¢ redondear como 1,97 cm o, incluso, como 20 mm.

Tercera pregunta: 3) ?Qu¨¦ ocurrir¨ªa si quisi¨¦ramos hacer 21 puntadas en vez de 20 con las mismas condiciones, esto es, que la n¨²mero 21 fuera perpendicular a la horizontal?

Cada puntada par y la siguiente puntada impar forman un tri¨¢ngulo is¨®sceles con sus dos ¨¢ngulos iguales contiguos a la recta horizontal. Esto suceder¨¢ con la puntada 20? y la puntada 21?. Por ello la puntada 21? no puede ser perpendicular a la recta horizontal ya que se deber¨ªa formar un tri¨¢ngulo is¨®sceles con dos ¨¢ngulos rectos, lo cual es imposible.

Este jueves plantearemos un nuevo desaf¨ªo.

Una camiseta bordada en zigzag