Nunca habr¨¢ una ¨²nica clase de part¨ªculas

Ya hay soluci¨®n para el decimocuarto desaf¨ªo matem¨¢tico con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. El profesor Antonio Aranda, de la Universidad de Sevilla, plante¨® el problema (v¨ªdeo de la izquierda) y ahora lo resuelven (v¨ªdeo de la derecha). La respuesta a la pregunta de esta semana es que no existe una secuencia de choques tal que todas las part¨ªculas acaben en el mismo estado. Pero hab¨ªa que demostrarlo. Se han recibido 1.020 respuestas, de las que un 80% eran correctas: demostraban que no era posible llegar a una situaci¨®n con todas las part¨ªculas en el mismo estado y la demostraci¨®n no ten¨ªa errores.

El ganador de una biblioteca matem¨¢tica como la que reparte EL PA?S es Carlos Rodr¨ªguez Feliciano, de Santa Cruz de Tenerife. Esta semana, en el quiosco con 9,95 euros con el peri¨®dico, La verdad est¨¢ en el l¨ªmite, de Antonio Jos¨¦ Dur¨¢n.

Como representativa de las respuestas acertadas que han dado los lectores elegimos esta semana la de Fernando Alvarruiz Bermejo, a quien tambi¨¦n felicitamos aunque no haya ganado el premio.

Supongamos que hubiera soluci¨®n, y que todas las part¨ªculas fuera finalmente neutras (por ejemplo). Eso quiere decir que habr¨ªa 0 part¨ªculas positivas y 0 negativas, y por tanto el n¨²mero de part¨ªculas positivas ser¨ªa igual al de negativas.

Por otra parte, la resta entre el n¨²mero de part¨ªculas positivas y el n¨²mero de negativas, cuando se produce un choque, s¨®lo puede:

- Quedarse como est¨¢, si el choque es entre una part¨ªcula positiva y otra negativa.

- Aumentar en 3, si el choque es entre una negativa y una neutra.

- Disminuir en 3, si el choque es entre una positiva y una neutra.

En particular, dicha resta s¨®lo var¨ªa de tres en tres. Eso quiere decir que la resta s¨®lo puede ser cero si inicialmente es m¨²ltiplo de 3. Como la resta inicial es 30-10=20, se deduce que nunca puede ser cero, es decir, que el n¨²mero de part¨ªculas positivas nunca puede ser igual al de negativas.

El mismo razonamiento sirve para justificar que no podemos acabar con part¨ªculas todas positivas, o todas negativas.

Todas las soluciones v¨¢lidas tienen que ver con la divisi¨®n entre 3, pero las ha habido de distintos estilos. Unos demostraban que la diferencia entre el n¨²mero de part¨ªculas en dos estados cualesquiera sub¨ªa o bajaba en 3 o se manten¨ªa constante con cada choque; otros consideraban la carga total del sistema y ve¨ªan que tambi¨¦n sub¨ªa o bajaba en 3 o se manten¨ªa constante; unos hac¨ªan esto con un lenguaje m¨¢s sencillo y otros con el lenguaje de congruencias. Usando tambi¨¦n congruencias, algunos lectores han considerado directamente el n¨²mero de part¨ªculas y han demostrado que, con el punto de partida del desaf¨ªo, las 3 cantidades son siempre congruentes con 0, 1 y 2 m¨®dulo 3, y que el efecto de los choques es permutar los tres valores.

Hay quienes han escrito un sistema de ecuaciones involucrando el n¨²mero de colisiones de cada tipo y han demostrado que no admite soluciones que sean n¨²meros enteros (hay soluciones, pero en todas es necesario un 3 en el denominador). El ganador del concurso, Carlos Rodr¨ªguez, est¨¢ entre quienes ha seguido este camino, con la particularidad de que ha hecho un estudio general para cualquier n¨²mero de part¨ªculas de inicio (no es el ¨²nico que ha analizado con m¨¢s amplitud el desaf¨ªo).

Y tambi¨¦n hay quien ha utilizado t¨¦cnicas m¨¢s singulares, como Javier Rodr¨ªguez, de San Sebasti¨¢n de los Reyes, que se ha valido de los n¨²meros complejos, concretamente de las 3 ra¨ªces c¨²bicas de 1 en los complejos.

Ante las dudas expresadas en los foros, aprovechamos para recordar que, aunque intentamos que las soluciones a los desaf¨ªos no exijan conocimientos avanzados de matem¨¢ticas, entran en el sorteo todas las respuestas correctas, independientemente del camino seguido para alcanzarlas.

El jueves publicaremos un nuevo reto.

Nunca habr¨¢ un ¨²nico tipo de part¨ªculas

Part¨ªculas en colisi¨®n