?Qu¨¦ X esconde tu d¨¦cimo? Esta es la soluci¨®n al desaf¨ªo matem¨¢tico de la Loter¨ªa de Navidad
Como ya es tradici¨®n, EL PA?S lanz¨® hace d¨ªas un reto matem¨¢tico. A continuaci¨®n puedes descubrir c¨®mo resolverlo y cu¨¢ntos lectores acertaron
Ya hay soluci¨®n para el desaf¨ªo matem¨¢ticos que EL PA?S propuso un a?o m¨¢s a los lectores con ocasi¨®n del Sorteo de la Loter¨ªa de Navidad del 22 de diciembre y presentado, como en ediciones anteriores, por Adolfo Quir¨®s Graci¨¢n, profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. Si quieres hacer el desaf¨ªo para tratar de resolver qu¨¦ X esconde el d¨¦cimo antes de tener pistas para resolverlo no sigas leyendo y pincha aqu¨ª.
Recordemos brevemente el desaf¨ªo. Compramos dos n¨²meros de la Loter¨ªa de Navidad con la propiedad de que, entre los dos, aparecen todos los d¨ªgitos del 0 al 9, necesariamente una vez cada uno y, adem¨¢s, la suma de los dos n¨²meros vuelve a ser un n¨²mero de loter¨ªa, es decir, tiene 5 cifras. Observamos que en esa suma aparecen, en alg¨²n orden y alguna posici¨®n, los d¨ªgitos 1, 3, 5 y 7. Llamando X a la quinta cifra de la suma, el desaf¨ªo consist¨ªa en decidir qu¨¦ valores exactamente puede tomar el d¨ªgito X: ?puede ser cualquiera entre 0 y 9?; ?pueden aparecer como X unos d¨ªgitos s¨ª y otros no?; ?puede ser que no aparezca ning¨²n X porque en realidad no existan dos n¨²meros que cumplan todas las condiciones que hemos dado? Se a?ad¨ªa que una soluci¨®n ser¨ªa fet¨¦n si daba un argumento que explicase por qu¨¦ aparecen precisamente esos X.
Para resolver el desaf¨ªo, empecemos por comprobar que existen pares de n¨²meros de loter¨ªa que cumplen nuestras condiciones: 30896+21475=52371. En este caso X=2.
Otro ejemplo: 29870+45361=75231. De nuevo X=2. ?Ser¨¢ esto casualidad? Veamos que no: X=2 es la ¨²nica posibilidad. Si damos un argumento que demuestre que es as¨ª, tendremos resuelto el desaf¨ªo de modo fet¨¦n.
La clave de nuestra soluci¨®n es observar que 10=9x1+1, 100=9x11+1, 1000=9x111+1 y 10000=9x1111+1.
As¨ª, si nuestro primer n¨²mero, llam¨¦moslo M, es abcde, usando el significado posicional de las cifras se tiene que:
M=a x 10000 + b x 1000 + c x 100 + d x 10 + e=m¨²ltiplo de 9+a+b+c+d+e.
De manera an¨¢loga, si el segundo n¨²mero, N, es ABCDE, se tendr¨¢:
N=m¨²ltiplo de 9+A+B+C+D+E.
La suma S de los dos n¨²meros cumplir¨¢ entonces que:
S=M+N= m¨²ltiplo de 9+a+b+c+d+e+A+B+C+D+E.
Como entre los dos n¨²meros aparecen los diez d¨ªgitos del 0 al 9, reordenando tendremos (recuerda que el orden de los sumandos no altera la suma)
a+b+c+d+e+A+B+C+D+E=0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.
Por tanto la suma, S=M+N= m¨²ltiplo de 9+45. es un m¨²ltiplo de 9.
Por otra parte, la suma tiene los d¨ªgitos 1, 3, 5, 7 y X, por lo que el mismo argumento (incluyendo, si hace falta, una reordenaci¨®n) nos dice que:
S=m¨²ltiplo de 9+1+3+5+7+X=m¨²ltiplo de 9+16+X.
Sabemos que esto tiene que ser un m¨²ltiplo de 9, lo que s¨®lo es posible si el d¨ªgito desconocido, X, es 2, como quer¨ªamos ver.
Quienes tengan formaci¨®n matem¨¢tica sin duda habr¨¢n observado que el argumento se puede hacer m¨¢s corto usando la notaci¨®n de congruencias (m¨®dulo 9 en nuestro caso), que se menciona en algunas de las soluciones recibidas.
Matemagia y la prueba del nueve
Estas ¡°cuentas con restos¡± se emplean con frecuencia en lo que se conoce como Matemagia, y de hecho este desaf¨ªo tiene su origen en un truco que me ense?¨® hace unos a?os Fernando Blasco, actual presidente de la Comisi¨®n de Divulgaci¨®n de la RSME. La misma idea de sumar cifras est¨¢ detr¨¢s de la prueba del nueve, que parece que ha inspirado algunas de las soluciones. Pero un buen n¨²mero de quienes nos leen han dado un razonamiento que me ha gustado mucho, porque demuestra (?como si hiciese falta!) que se puede pensar matem¨¢ticamente sin conocer la jerga y con t¨¦cnicas b¨¢sicas. En palabras de Mercedes A.:
?Como al sumar n¨²meros, cada vez que hay una ¡°llevada¡± convertimos 10 unidades de un orden en 1 unidad de orden superior (por ejemplo 10 unidades en una decena), entonces cada vez que hay una ¡°llevada¡±, en la suma de las cifras del resultado se pierden 9 (=10-1) unidades con respecto a la suma de los d¨ªgitos de los sumandos.?
Con esto en mente, vemos en el caso del desaf¨ªo que, a partir de la suma 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 de los d¨ªgitos de los n¨²meros originales, la suma de los d¨ªgitos del ¡°n¨²mero suma¡± bajar¨¢ a 36 si hay una llevada, a 27 si hay dos, a 18 si hay tres y finalmente a 9 si ha habido cuatro llevadas. Como 1+3+5+7=16, la ¨²nica posibilidad es completarlo a 18, y por tanto X=2.
Esto tiene una consecuencia en la que confieso que no me hab¨ªa fijado: cuando buscamos ejemplos que demuestren que la situaci¨®n planteada puede darse (volveremos a esto), necesariamente estaremos ante tres llevadas. Una observaci¨®n sencilla, pero sin duda curiosa.
En el plazo establecido han contestado al desaf¨ªo, desde diversos pa¨ªses (al menos Alemania, Eslovenia, Italia, Francia y Reino Unido, adem¨¢s de Espa?a), alrededor de 180 personas. No es f¨¢cil dar el n¨²mero exacto porque algunas soluciones, o bien tienen varios autores, o bien ven¨ªan en el mismo mensaje. Este es el caso de varias de las enviadas desde centros de ense?anza (?las y los j¨®venes a quienes anim¨¢bamos a participar!), entre las que queremos destacar este a?o la que han mandado Clara, Erine, Jed, Nael y Valentine, estudiantes del Instituto Clemenceau de Reims (Francia), quienes han investigado el desaf¨ªo ?en su clase de espa?ol! Estoy muy agradecido a su profesora, la se?ora Louyer, por utilizar el desaf¨ªo como herramienta docente fuera de la clase de Matem¨¢ticas.
El 22% de las respuestas recibidas eran incorrectas
De entre las respuestas, hemos tenido que considerar incorrectas alrededor del 22%. Aproximadamente dos terceras partes de ellas lo son porque se han limitado a dar un ejemplo en el que, claro, X=2, pero no dicen nada sobre por qu¨¦ pueden descartar otras posibilidades. En sentido contrario, un 18% de las respuestas son correctas, e incluso ¡°parcialmente fet¨¦n¡±: dan un argumento claro y s¨®lido de por qu¨¦ es X=2, pero les ha faltado incluir un ejemplo, con lo que no podemos estar seguros de que X exista. Como nos dice Jos¨¦ Lorenzo M. A., maestro jubilado, encontrar ejemplos a mano no era del todo inmediato.
Nosotros hemos dado dos, pero varias personas han tirado del ordenador para ver cu¨¢ntos pares de n¨²meros de loter¨ªa hay que cumplan nuestras condiciones: resultan ser 6592 (o 13184 si consideramos los dos posibles ¨®rdenes para cada par). Algunas nos ha indicado que, de las 120 formas de ordenar las cifras 12357, 102 (todas salvo las que empiezan por 12, 13 y 15) aparecen en las posibles sumas, e Ignacio L. C. ha ido m¨¢s all¨¢: ha calculado la frecuencia con la que se da cada una de estas 102 sumas en las 6592 soluciones. La m¨¢s frecuente es 73521, que aparece en 160 casos, mientras que hay diez sumas que s¨®lo aparecen en 16 ocasiones cada una.
Un desaf¨ªo ¡°anti-ChatGPT¡±
?No ha utilizado nadie la Inteligencia Artificial para resolver el desaf¨ªo? Por supuesto que s¨ª. Chat GPT no parece entender bien la pregunta (Samuel M. dice que hemos planteado un desaf¨ªo ¡±anti-ChatGPT¡±), aunque se puede usar para encontrar ejemplos, como ha hecho Jos¨¦ D. S. A.. Pero Alberto B. de la C., que hab¨ªa encontrado la soluci¨®n experimentalmente, ha planteado el reto te¨®rico a Gemini 2.0 Flash y ha obtenido una soluci¨®n correcta, bien explicada (aunque la nuestra es m¨¢s corta) y que parece humana.
Tres de los autores de soluciones correctas recibir¨¢n, por cortes¨ªa de la RSME, sendos ejemplares del libro ¡°Gardner para principiantes: Enigmas y juegos matem¨¢ticos¡±, coordinado por el ya mencionado Fernando Blasco, que forma parte de la Biblioteca Est¨ªmulos Matem¨¢ticos que la sociedad ha venido publicando conjuntamente con Editorial SM. Son Fernando G. (por su original¨ªsima soluci¨®n en forma de poema), Mari Carmen G. A. Y Pedro G. F. (quien tendr¨¢ que compartir el libro con su padre, Guillermo, dado que han enviado una soluci¨®n conjunta).
Muchas gracias a quienes siguen fielmente los desaf¨ªos y se animan a enviar soluciones. Sus mensajes son el mejor est¨ªmulo para continuar con este entretenimiento matem¨¢tico anual. En nombre de EL PA?S, de la RSME y en el m¨ªo propio, les deseo feliz Navidad y un nuevo a?o en el que el que el mundo no nos sea ajeno.
M¨¢s abajo puedes consultar los desaf¨ªos (y las soluciones) de a?os anteriores.
Resuelve los desaf¨ªos matem¨¢ticos de otros a?os
Ver el desaf¨ªo de 2023: ?Cu¨¢nto suman todos los d¨ªgitos?
Ver el desaf¨ªo de 2022: ?Se queda el d¨¦cimo o me lo cambia?
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