Una mesa no igualitaria

Ya hay soluci¨®n para el decimos¨¦ptimo desaf¨ªo con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. Alberto Casta?o, estudiante de doctorado de la Universidad de Sevilla, plante¨® el problema (v¨ªdeo de la izquierda) y ahora lo resuelven (v¨ªdeo de la derecha). Esta semana la cuesti¨®n era cubrir totalmente una mesa de 90 cent¨ªmetros por 150 con un rollo de papel de 20 cent¨ªmetros de ancho y un ¨¢rea exactamente igual a la de la mesa al que s¨®lo pod¨ªamos hacer cortes transversales.

Realizado el sorteo, el ganador de una biblioteca matem¨¢ticacomo la que cada fin de semana se distribuye en el quiosco con EL PA?S ha resultado ser Jos¨¦ Miguel Zapata Garc¨ªa, de Murcia. Jos¨¦ Miguel trabaja en el departamento de An¨¢lisis Cuantitativo de Banesto en Madrid, donde, seg¨²n nos cuenta, se siguen con mucho inter¨¦s nuestros desaf¨ªos. Este domingo, por 9,95 euros con el peri¨®dico, Un descubrimiento sin fin, de Enrique Graci¨¢n.

Hemos recibido unas 500 respuestas a este reto matem¨¢tico. Pr¨¢cticamente todas se?alan acertadamente que no es posible cubrir la mesa con las condiciones del desaf¨ªo. Sin embargo, consideramos que s¨®lo un 35% se ajustan al requisito de "si no se puede hacer, demostrar por qu¨¦". Vamos a intentar explicar nuestra decisi¨®n.

La respuesta m¨¢s com¨²n es decir simplemente que no es posible porque 20 no divide ni a 90 ni a 150. El problema es que nada nos impide tener, por ejemplo, una pieza de 20xpi, otra de 20xra¨ªz cuadrada de 2, una tercera que mida 20xlogaritmo de 87. En esas condiciones, ?qu¨¦ quiere decir dividir? En la mayor¨ªa de los casos nos parece que nuestros lectores se refieren a divisibilidad de n¨²meros enteros, pero nuestros trozos de papel pueden tener una dimensi¨®n que no sea ni siquiera un n¨²mero racional (una fracci¨®n), y por eso el simple argumento "20 no divide ni a 90 ni a 150" no constituye una demostraci¨®n.

Tampoco lo es decir que, lo hagamos como lo hagamos, siempre quedar¨¢ sin cubrir un rect¨¢ngulo de 10 cmx10 cm (o m¨¢s exactamente un total de 100 cm^2: podr¨ªan quedar por cubrir, por ejemplo, 250 rect¨¢ngulos de 1 cmx0,4 cm) si no se da una explicaci¨®n que justifique que este es el caso para CUALQUIER forma de cortar el papel, incluidos los ya mencionados trozos de 20xpi, etc. En resumen, no sirven los argumentos que de manera impl¨ªcita o expl¨ªcita asumen que las piezas tienen lados enteros (o quiz¨¢s fraccionarios, que se podr¨ªan considerar enteros si se tomase una unidad adecuada).

Tampoco son soluciones correctas las que citan el Teorema de Bruijn y Klarner porque este resultado, que los lectores interesados no tendr¨¢n dificultad en encontrar, se refiere a cubrir un rect¨¢ngulo con piezas de un tama?o fijo, que no es el caso en nuestro desaf¨ªo. S¨ª se puede sin embargo aplicar una generalizaci¨®n que nos remite Sara Ferrer: si un rect¨¢ngulo se divide en varios rect¨¢ngulos, cada uno de los cuales tiene al menos un lado de longitud entera, entonces al menos un lado del rect¨¢ngulo original tiene longitud entera. En nuestro desaf¨ªo basta con tomar como unidad de medida una longitud de 20 cm para que este resultado nos garantice que, como han pensado casi todos nuestros lectores, no podemos cubrir la mesa. Hay muchas demostraciones del resultado, pero ninguna es absolutamente inmediata, y la propia Sara Ferrer nos da dos. Una de ellas es la misma que se presenta en el v¨ªdeo para el desaf¨ªo y la m¨¢s frecuente entre las respuestas consideradas correctas, por ejemplo la que env¨ªa desde Luxemburgo Jes¨²s Nieto:

Veamos la mesa como un rect¨¢ngulo de 15 x 9 = 135 cuadrados (de 10 cm de lado)

El rollo puede cortarse tan corto como se quiera pero siempre la pieza tendr¨¢ 2 cuadrados (20 cm) en una dimensi¨®n, con lo que siempre cubrir¨¢ (algo) de cuadrados contiguos en horizontal o vertical.

Aqu¨ª viene el "aj¨¢" Gardneriano (gracias al desaf¨ªo 10): si coloreamos la mesa como un tablero de ajedrez en cuadrados blancos y negros, el ¨¢rea cubierta por una pieza cualquiera de papel de 2 de ancho (y cualquier largo) ser¨¢ siempre la mitad blanco y la mitad negro.

Nuestra mesa tiene 135 cuadrados (n¨²mero impar donde los haya), con lo que no es posible que la mitad sean blancos y la mitad negros. Es una mesa no igualitaria (la pobre).

Luego no se puede cubrir la mesa (no igualitaria) con nuestras piezas de papel "igualitarias" que siempre cubren mitad blanco mitad negro.

Otros lectores, entre ellos el ganador del sorteo, han presentado una soluci¨®n equivalente marcando puntos separados por 10 cm en ambas direcciones (en lugar de pintar cuadrados) y se?alando que cada pieza de papel cubre un n¨²mero par de puntos (quiz¨¢s 0, que tambi¨¦n es par).

Hay alguna otra demostraci¨®n correcta que lleva una cuidadosa contabilidad no s¨®lo de la superficie, sino tambi¨¦n del n¨²mero de piezas horizontales y verticales en distintas bandas de 20 cm de ancho, pero pensamos que quienes las han enviado entender¨¢n que son m¨¢s arduas que la anterior y por ello no las reproducimos.

Sentimos que algunos lectores posiblemente sientan una cierta frustraci¨®n por no haber entrado en el sorteo habiendo dado respuestas que consideraban correctas. Quiz¨¢s puedan consolarse un poco buscando informaci¨®n sobre teselaciones. Seguro que pasar¨¢n un buen rato.

El jueves plantearemos un nuevo desaf¨ªo.

Una mesa no igualitaria

Una mesa y un mantel