?reas equivalentes
Resolvemos el 25? desaf¨ªo matem¨¢tico de EL PA?S con el que celebramos el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola.- El ganador es Rub¨¦n Out¨®n Gil.- El jueves plantearemos un nuevo desaf¨ªo
Ya hay soluci¨®n para el vig¨¦simo quinto desaf¨ªo matem¨¢tico con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola (ver el v¨ªdeo conmemorativo).
Inmaculada Fern¨¢ndez Benito, Catedr¨¢tica de Matem¨¢ticas en el IES N¨²?ez de Arce de Valladolid, propuso el problema (ver v¨ªdeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (v¨ªdeo de la derecha): si el ¨¢rea que dejaban libres las dos alfombras triangulares era de 4,2 metros cuadrados, el ¨¢rea en la que se superponen ser¨¢ la misma.
Para este primer desaf¨ªo de septiembre se han recibido 1.280 respuestas, de las cuales dimos por v¨¢lidas un 98,5%. Algunos lectores, incluidos varios ni?os, han acompa?ado las respuestas con comentarios donde indican que es la primera vez que se han atrevido a responder. Esto nos da pie a recordar que nuestra intenci¨®n era que los desaf¨ªos fuesen variados tanto en cuanto a su contenido como a su dificultad. Que esta vez el desaf¨ªo fuese m¨¢s asequible, y tal vez el final de las vacaciones, han contribuido a aumentar la participaci¨®n y estamos muy satisfechos por ello. El ganador de una biblioteca matem¨¢tica como la que entrega cada semana EL PA?S ha sido en esta ocasi¨®n Rub¨¦n Out¨®n Gil . Este domingo, en el quiosco, por 9,95 euros con el peri¨®dico, El sue?o del mapa perfecto, de Ra¨²l Ib¨¢?ez.
Recordemos el problema: Se trataba de calcular el ¨¢rea en la que se superpon¨ªan dos alfombras triangulares, dispuestas en un espacio rectangular como muestra esta figura, sabiendo que la superficie que quedaba libre en la habitaci¨®n es de 4,2 metros cuadrados.
Como en la soluci¨®n que propone la profesora Fern¨¢ndez Benito, la mayor parte de las respuestas recibidas basan su razonamiento en que los dos tri¨¢ngulos tienen la misma ¨¢rea y que esta es la mitad del ¨¢rea del rect¨¢ngulo, llegando, desde este punto de partida, a la conclusi¨®n de forma natural. Las respuestas vienen expresadas en distintas formas. Algunos lectores han preferido hacer una exposici¨®n sint¨¦tica, otros han apoyado el razonamiento en la imagen colgada en la p¨¢gina web y otros, en fin, han utilizado f¨®rmulas y expresado en lenguaje algebraico el enunciado para llegar al resultado final.
Tambi¨¦n hay quien ha ilustrado la soluci¨®n con GeoGebra ?e incluso quien la ha expresado en t¨¦rminos probabil¨ªsticos o de teor¨ªa de conjunto! Todas ellas son correctas y resuelven adecuadamente el desaf¨ªo de esta semana: el ¨¢rea determinada por la superposici¨®n de las dos alfombras (sombreada en negro) es la misma que el ¨¢rea de la parte no cubierta por las alfombras (coloreada en amarillo), y por tanto mide 4,2 metros cuadrados.
El error que han cometido casi todos los lectores que no han dado con la soluci¨®n ha sido, tras llegar a ese 4,2, pensar que, como estaba cubierta por dos alfombras, el ¨¢rea era la mitad: 2,1 metros cuadrados.
El jueves plantearemos un nuevo reto.
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