Un n¨²mero grande... y ¨²nico
Resolvemos el 28? desaf¨ªo matem¨¢tico de EL PA?S con el que celebramos el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola.- La ganadora es Consuelo Arias Crespo, de Ponferrada (Le¨®n)
Ya hay soluci¨®n para el vig¨¦simo octavo desaf¨ªo matem¨¢tico con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola (ver el v¨ªdeo conmemorativo).
Jos¨¦ Manuel Bayod, catedr¨¢tico de An¨¢lisis Matem¨¢tico y Defensor Universitario de la Universidad de Cantabria, propuso el problema (ver v¨ªdeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (v¨ªdeo de la derecha).
Para este desaf¨ªo se han recibido en el plazo marcado 357 respuestas, de las que el 75% eran correctas. La ganadora de una biblioteca matem¨¢tica como la que entrega cada semana EL PA?S ha sido en esta ocasi¨®n Consuelo Arias Crespo, de Ponferrada (Le¨®n). Este domingo, en el quiosco, por 9,95 euros con el peri¨®dico, Curvas peligrosas, de Josep Sales y Francesc Banyuls.
Recordemos el problema: consist¨ªa en identificar todos los n¨²meros N de 100 cifras que, al ser divididos en dos n¨²meros -uno formado por las 50 primeras cifras, al que llam¨¢bamos A; y otros por las 50 ¨²ltimas, al que llam¨¢bamos B- cumpl¨ªan la condici¨®n de que N = 3AB.
La respuesta correcta al desaf¨ªo es que N solo puede ser el n¨²mero de cien cifras 166...667333...334. Veamos a continuaci¨®n la demostraci¨®n.
De N sabemos que N = 3AB y que N = 10^50 A + B. De estas dos igualdades deducimos que B es m¨²ltiplo de A, concretamente que B = tA, donde t = 3B - 10^50 (en el v¨ªdeo, el n¨²mero t lo representamos con la letra griega alfa).
As¨ª, sabemos que el coeficiente t ha de ser menor que 10, puesto que de lo contrario B = tA tendr¨ªa m¨¢s de 50 cifras. Adem¨¢s, ha de ser menor que 4, puesto que si t fuese mayor o igual que 4 pasar¨ªa que 10^50 + t = 3B = 3tA >= 12 A >= 1,2 x 10^50. Esto quiere decir que el n¨²mero "100...00t" ser¨ªa mayor o igual que el n¨²mero "120...000" (ambos de 51 cifras), lo que es falso. De ah¨ª sacamos que t solamente puede ser 1, 2 ¨® 3. Por ¨²ltimo, para que el n¨²mero 10^50 + t sea m¨²ltiplo de 3, la suma de sus d¨ªgitos, 1 + t, ha de ser m¨²ltiplo de 3. Concluimos que necesariamente t = 2.
Por consiguiente, la ¨²nica soluci¨®n posible es que B = (10^50 + 2)/3 = "333...334" (con 50 cifras, ya que al dividir el diez inicial entre tres perdemos una); y que A = B/2 = "166...667" (tambi¨¦n con 50 cifras). Solamente nos queda comprobar que el n¨²mero N de 100 cifras que se obtiene al escribir primero A y despu¨¦s B, N = "166...667333...334", cumple efectivamente que N = 3AB. As¨ª es, puesto que N = 10^50 A + B = (10^50 + 2)A = 3BA.
La mayor parte de las soluciones enviadas se han obtenido a trav¨¦s de un an¨¢lisis detallado del coeficiente B/A, discutiendo los casos de la misma forma que se ha explicado en el v¨ªdeo, o con algunas variantes. El siguiente m¨¦todo m¨¢s usado ha sido estudiar el mismo coeficiente a partir de la observaci¨®n de que no tiene m¨¢s factores primos que 2 y 5, puesto que divide a 10^(50).
Muchos de los que enviaron soluciones correctas explicaban que hab¨ªan comenzado experimentando con n¨²meros de menos cifras (4, 6, 8,...), normalmente con ayuda de un ordenador, lo que les permiti¨® detectar un patr¨®n que daba lugar a la soluci¨®n en el caso de 100 cifras, y despu¨¦s pasaron a demostrar que la soluci¨®n as¨ª encontrada era ¨²nica.
Tambi¨¦n ha habido un grupo de participantes que ha resuelto el desaf¨ªo acotando con finura los posibles valores de B, a partir de los valores que puede tomar A; de esta manera llegaban a la conclusi¨®n de que la ¨²nica posibilidad para tener un B entero era el n¨²mero de la soluci¨®n. Para conseguir esas acotaciones algunos han utilizado el hecho de que B = 10^(50)A / (3A-1) es decreciente en el rango de valores admisibles de A; mientras que otros han trabajado con las desigualdades que se sabe que cumplen A y B hasta conseguir demostrar que B ha de estar comprendido entre 10^(50)/3 y 10^(50) / (3 - 1/10^(49)).
Por ¨²ltimo, ha habido algunos (muy pocos) que no solo resolvieron lo que se propuso, sino que resolvieron adem¨¢s el caso bastante m¨¢s complicado de que se admitiera que tambi¨¦n el primero de los 50 d¨ªgitos de A pudiera ser igual a cero, del mismo modo que pueden serlo el resto de d¨ªgitos de N. Bajo estas hip¨®tesis resulta haber 1.301 soluciones posibles de N, pero dejamos al lector interesado el placer de encontrarlas...
Entre las soluciones que no hemos podido dar por buenas est¨¢n las que han identificado el N correcto, pero lo intuyen del resultado obtenido para n¨²meros de pocas cifras, sin dar un razonamiento que muestre que lo que vale para cuatro o seis cifras tambi¨¦n vale para 100. Tambi¨¦n las que analizan lo que ocurre con B para los valores extremos que puede tomar A pero no demuestran que la conclusi¨®n que sacan vale tambi¨¦n para todos los valores intermedios de A. Y las que aseguran que el n¨²mero encontrado es ¨²nico pero no desarrollan un argumento que lo pruebe.
El jueves plantearemos un nuevo reto.
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