Una paradoja electoral

Javier Fres¨¢n, estudiante de doctorado en Matem¨¢ticas en la Universit¨¦ Paris 13 Nord, presenta el vig¨¦simo noveno desaf¨ªo con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. Env¨ªa tu respuesta antes de las 0.00 horas del martes 4 de octubre (medianoche del lunes, hora peninsular espa?ola) a problemamatematicas@gmail.com, entre los acertantes sortearemos una biblioteca matem¨¢tica como la que cada domingo se distribuye con EL PA?S.

A continuaci¨®n, para aclarar las dudas y en atenci¨®n a nuestros lectores sordos, a?adimos el enunciado del problema por escrito.

Se quiere elegir a un representante entre varios candidatos. Muchos dir¨ªan que las matem¨¢ticas que intervienen en el proceso se reducen a contar el n¨²mero de votos. Y, sin embargo, en cuanto se examina la situaci¨®n con un poco de detalle, se ve que surgen fen¨®menos extra?os.

Imaginemos que, en unas elecciones a las que se presentan siete candidatos, uno de ellos recibe el 40% de los votos, y que el 60% restante se reparte de igual manera entre los otros seis. Sin pensarlo dos veces declaramos ganador por mayor¨ªa simple al primer candidato. Ahora bien, si pidi¨¦ramos a los votantes que dijeran no solo cu¨¢l es su candidato preferido, sino tambi¨¦n qui¨¦n es el que menos les gusta, podr¨ªa darse la circunstancia de que todos aquellos que no han votado al candidato ganador lo colocasen en ¨²ltimo lugar. Y entonces se habr¨ªa declarado ganador a un candidato que es... ?el que menos gusta por mayor¨ªa absoluta!

Este fen¨®meno se conoce como paradoja de Borda, en honor al matem¨¢tico e ingeniero franc¨¦s Jean-Charles de Borda, que vivi¨® en el siglo XVIII. Precisamente con la intenci¨®n de que el resultado de las elecciones se ajustase mejor a los gustos de los votantes, Borda introdujo un nuevo m¨¦todo de recuento en el que cada elector coloca a todos los candidatos en orden de preferencia. Por cada votante, si el candidato est¨¢ en la ¨²ltima posici¨®n recibe un punto; si est¨¢ en la pen¨²ltima, dos; en la tercera por el final, tres; y as¨ª sucesivamente. A continuaci¨®n se suman todos los puntos y se declara ganador al que m¨¢s tiene.

Por ejemplo, en una elecci¨®n en la que cuatro personas eligen entre tres candidatos A, B y C ordenados del siguiente modo:

Votante 1: A>B>C

Votante 2: C>B>A

Votante 3: B>C>A

Votante 4: A>B>C

As¨ª, el candidato A recibe 3+1+1+3=8 puntos, B recibe 2+2+3+2=9 y C recibe 1+3+2+1=7, luego se declara ganador a B. Ahora bien, el m¨¦todo de Borda da un ganador que podr¨ªa ser distinto del ganador por mayor¨ªa. De hecho, si solo hubi¨¦semos tenido en cuenta el candidato preferido, el ganador habr¨ªa sido A, que tiene 2 votos, en lugar de 1 como B y C.

Y el desaf¨ªo de la semana es el siguiente: supongamos que n candidatos se presentan a unas elecciones, ?qu¨¦ porcentaje de apoyos tiene que recibir como m¨ªnimo un ganador por mayor¨ªa para que podamos asegurar que tambi¨¦n ser¨ªa el ganador si el recuento de los votos se hubiera realizado seg¨²n el m¨¦todo de Borda?

DESAF?OS ANTERIORES Y SUS SOLUCIONES