Espacio para cuatro, pero no para cinco

Ya hay soluci¨®n para el trig¨¦simo segundo desaf¨ªo matem¨¢tico con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola (ver el v¨ªdeo conmemorativo).

Sof¨ªa Nieto, estudiante de doctorado en Matem¨¢ticas en la Universidad Aut¨®noma de Madrid, propuso el problema -con gui¨®n de Eva Elduque Laburta, profesora del Taller de Talento Matem¨¢tico de Arag¨®n- y lo resuelve ahora (v¨ªdeo de la derecha).

Para este desaf¨ªo se han recibido en el plazo marcado 245 respuestas, de las que hemos considerado que un 25% presentaban un argumento correcto y completo. El ganador de una biblioteca matem¨¢tica como la que entrega cada semana EL PA?S ha sido en esta ocasi¨®n Jos¨¦ Luis de Miguel, de Madrid.

Recordemos que el desaf¨ªo consist¨ªa en demostrar que si en una caja con forma de prisma recto de altura 40 cm y base un tri¨¢ngulo equil¨¢tero de lado 60 cm se introducen 5 part¨ªculas (que hay que pensar que son como puntos y se mueven al azar), siempre habr¨¢ dos de ellas que disten entre s¨ª estrictamente menos de 50 cm.

La soluci¨®n que proponemos tiene dos pasos. Empezamos por tomar el tri¨¢ngulo equil¨¢tero y, uniendo los puntos medios de sus lados, formamos 4 triangulitos equil¨¢teros, lo que nos dan otros tantos prismas triangulares. Dividimos por tanto el prisma en 4 prismas id¨¦nticos m¨¢s peque?os.

Cada uno de esos prismas peque?os tiene 30 cm de lado y 40 cm de altura. La mayor distancia que se puede alcanzar dentro de ese prisma es la diagonal de cualquiera de sus caras rectangulares que, por el teorema de Pit¨¢goras, mide 50 cm. Como tenemos 5 part¨ªculas, al menos dos deben estar en el momento en que observamos en un mismo prisma peque?ito, y por tanto a distancia menor o igual que 50 cm.

Esto es un ejemplo del principio del palomar, pero para resolver el desaf¨ªo completo, que ped¨ªa demostrar que hay dos part¨ªculas a distancia estrictamente menor que 50 cm, tenemos que trabajar un poco m¨¢s apoy¨¢ndonos en que los primas peque?os comparten algunas caras.

El siguiente paso consiste en ver qu¨¦ pasa si en la caja con dos part¨ªculas ¨¦stas est¨¢n a distancia exactamente 50 cm, es decir, ocupan los dos v¨¦rtices de una diagonal. Vamos a tratar dos casos.

Primer caso: las dos part¨ªculas ocupan v¨¦rtices de una cara del prisma interior. Entonces vemos que, si no hay part¨ªculas a menos de 50 cm, no puede haber m¨¢s part¨ªculas en ninguno de los dos prismas que comparten esa cara, y que en realidad s¨®lo hay lugar para dos part¨ªculas m¨¢s (ver dibujo aqu¨ª).

Segundo caso: las dos part¨ªculas ocupan v¨¦rtices de un prisma de los que tocan un v¨¦rtice de la caja original (es decir, exterior). Si hubiese alguna part¨ªcula m¨¢s en una cara interior, estar¨ªamos en el caso anterior. Por tanto las otras part¨ªculas tienen que estar en v¨¦rtices de la caja original y, de nuevo, s¨®lo hay lugar para 4 part¨ªculas en total (ver dibujo aqu¨ª).

La mayor¨ªa de los lectores que han resuelto correctamente el desaf¨ªo han seguido este camino, desarrollando de distintas maneras el paso que muestra que la distancia es estrictamente menor que 50 cm. Una manera especialmente limpia de presentarlo es asignar todas las caras interiores s¨®lo al prisma peque?o que queda en el centro. As¨ª lo ha hecho, entre otros, Alfonso P¨¦rez Arnal, que adem¨¢s ha preparado un v¨ªdeo explicativo que puedes ver en este enlace.

Pero los lectores tambi¨¦n han encontrado otras maneras de resolver el desaf¨ªo. Mar¨ªa Gu¨ªo Carri¨®n, Jos¨¦ Mar¨ªa Garc¨ªa Rold¨¢n y algunos m¨¢s (entre ellos el ganador de sorteo) han transformado el problema tridimensional en un problema plano. Lo hacen proyectando las part¨ªculas sobre la base triangular y observando que, si no hubiese part¨ªculas a menos de 50 cm, estas proyecciones ser¨ªan las 5 distintas y distar¨ªan entre s¨ª al menos 30 cm. Obtienen as¨ª un problema similar al original, pero m¨¢s sencillo al ser bidimensional.

Tambi¨¦n lo ha reducido a dimensi¨®n dos Javier Rodr¨ªguez, pero en su caso lo que ha considerado son esferas de radio 25 alrededor de cada una de las part¨ªculas y su corte con el plano paralelo a la base del prisma y a altura 20 cm. Moviendo arriba y abajo las esferas, pero sin que sus centros se salgan de la caja, observa que estas intersecciones son c¨ªrculos de radio al menos 15 cm, y comprueba (?de nuevo en dimensi¨®n 2 es m¨¢s sencillo!) que al menos dos de esos c¨ªrculos tienen que cortarse en algo m¨¢s que sus bordes.

Esta idea del empaquetamiento ha sido seguida, de manera m¨¢s o menos expl¨ªcita, por la mayor¨ªa de las respuestas que no hemos considerado correctas. Casi todas tienen buenas ideas y apuntan en la buena direcci¨®n, pero en alg¨²n momento hacen afirmaciones que no est¨¢n totalmente justificadas. Veamos por qu¨¦.

Una l¨ªnea de pensamiento ha pasado por intentar agrupar las part¨ªculas de la manera m¨¢s densa posible. Se propone as¨ª ponerlas en los 5 v¨¦rtices de la figura formada por dos tetraedros unidos por una cara y se dice, y es cierto, que esa figura (otros proponen una pir¨¢mide de base cuadrada) no cabe en nuestra caja. Pero la distribuci¨®n no tiene por qu¨¦ ser esa: si nuestra caja fuese una pir¨¢mide con base cuadrada de lado 71 cm y altura 1 cm tampoco cabr¨ªa en ella el tetraedro doble, y sin embargo podr¨ªamos poner las 5 part¨ªculas en los 5 v¨¦rtices de la caja y distar¨ªan m¨¢s de 50 cm entre s¨ª. La dificultad estriba en que se trata de conseguir un empaquetamiento denso en un espacio acotado, y eso es una restricci¨®n importante.

Otros lectores han optado por alejar las part¨ªculas lo m¨¢s posible, y han empezado por poner 3 part¨ªculas en 3 v¨¦rtices de la caja (unos en los 3 v¨¦rtices de una misma cara y otros 2 en una cara y 1 en el v¨¦rtice opuesto de la otra cara) y comprobar luego que no caben las otras dos part¨ªculas. Pero esta estrategia no es v¨¢lida en general, y por tanto no se puede usar sin m¨¢s explicaci¨®n.Para verlo, pensemos en una caja como la del desaf¨ªo pero donde los tri¨¢ngulos equil¨¢teros miden 73,28 cm de lado (la altura sigue siendo 40 cm). Si colocamos 3 part¨ªculas en 3 v¨¦rtices (por ejemplo los llamados A, b y c en este diagrama) no queda hueco para otras 2 part¨ªculas sin que al menos dos de entre las 5 disten entre s¨ª menos de 50 cm. No obstante, s¨ª es posible colocar 5 part¨ªculas sin que ninguna distancia sea inferior a 50 cm, pero para ello hay que situarlas tal como est¨¢n en el diagrama: una en el v¨¦rtice superior A; otra en m, a 60 cm de A; la tercera en k, a 30 cm de a; y las otras dos en b' y c', a 6,154 cm del plano inferior. Este ejemplo nos lo ha proporcionado amablemente uno de nuestros lectores, Antonio Noriega de la Sierra.

No obstante, era posible (y correcto) ir colocando las 5 part¨ªculas y argumentar con rigor que se han agotado todas las posibilidades. As¨ª lo ha hecho, por ejemplo, Francisco Pi Mart¨ªnez desde M¨¦xico, pero requiere bastante m¨¢s esfuerzo que las soluciones que hemos presentado anteriormente.

El jueves plantearemos un nuevo reto.

Part¨ªculas en movimiento

Espacio para cuatro, pero no para cinco