La astucia a veces no basta

Ya hay soluci¨®n para el trig¨¦simo cuarto desaf¨ªo matem¨¢tico con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. Vadym Paziy, estudiante de Doctorado en el Grupo de F¨ªsica Nuclear de la Universidad Complutense de Madrid y antiguo gu¨ªa en la Olimpiada Matem¨¢tica Internacional celebrada en 2008 en Madrid. propuso el problema (ver v¨ªdeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (v¨ªdeo de la derecha).

Para este desaf¨ªo se han recibido en el plazo marcado 635 respuestas, de las que un 65% eran correctas. El ganador de una biblioteca matem¨¢tica como la que entrega cada semana EL PA?S ha sido en esta ocasi¨®n Enrique Barrio R¨ªo, de Aranda de Duero (Burgos).

Recordemos que el desaf¨ªo preguntaba cu¨¢l de dos hermanos gusanitos de seda ser¨ªa comido por una golondrina que les esperaba en su casa. Los hermanos se encontraban en un punto en la base de una colina diametralmente opuesto a la casa. La colina tiene forma de cono recto con una base circular de 1 metro de radio y una ladera de longitud 2 metros. Uno de los gusanitos es m¨¢s astuto y sabe calcular el camino m¨¢s corto, para lo que emplea 3 minutos, mientras que su hermano es m¨¢s alegre y escoge el primer camino que encuentra, la base del cono, y sabemos que ambos se desplazan con la misma velocidad de 1 mm/s. Para que la respuesta fuese considerada correcta hab¨ªa que indicar no s¨®lo el gusanito-v¨ªctima, sino tambi¨¦n los c¨¢lculos que llevan a la conclusi¨®n.

La respuesta es que, desafortunadamente para ¨¦l, es el gusanito astuto quien aplaca el hambre de la golondrina. Veamos los c¨¢lculos.

Como ya hemos indicado, la base de un cono no es el camino m¨¢s corto para llegar de un punto a otro diametralmente opuesto. Existe una curva, llamada geod¨¦sica, cuya longitud es la m¨¢s corta para llegar de un punto al otro en una superficie dada. Las rectas en el plano son un ejemplo muy claro de geod¨¦sicas.

Nuestro desaf¨ªo est¨¢ planteado en tres dimensiones. Sin embargo, si en nuestro cono hacemos un corte recto desde la base hasta el v¨¦rtice y lo tumbamos sobre el suelo reducimos el problema a dos dimensiones. Todas las distancias se conservan (hemos hecho una isometr¨ªa), con lo que el problema planteado se resuelve con las t¨¦cnicas b¨¢sicas de geometr¨ªa.

En el dibujo se ve claramente que el camino elegido por el gusano astuto (marcado en rojo) es el m¨¢s corto posible, y en particular m¨¢s corto que el de su hermano. Calculemos su valor. A partir del dibujo se ve que el ¨¢ngulo de apertura del cono es de 180 grados, y que tenemos por tanto un semic¨ªrculo.

Se puede comprobar anal¨ªticamente que el ¨¢ngulo es 180?. Llamando r al radio de la base, que vale 1 para nuestra colina, y g a la longitud de la pendiente (en matem¨¢ticas se suele llamar generatriz del cono), que en este caso es 2, tenemos

¨¢ngulo = 360? x r/g = 360? x 1/2 = 180?

Tambi¨¦n podemos comprobarlo, como han hecho muchos lectores, observando que se trata de un arco de circunferencia de radio 2 y longitud la longitud de la base del cono. Esta longitud es 2 x pi x r=2 x pi x 1=2 x pi, y como la longitud de una circunferencia de radio 2 ser¨ªa 2 x pi x 2=4 x pi y tenemos la mitad de esta cantidad se trata de un semic¨ªrculo.

Sea x el camino corto elegido por el gusano astuto. Aplicando el teorema de Pit¨¢goras:

x = ra¨ªz cuadrada de (2^2+2^2) = ra¨ªz cuadrada de 8, aproximadamente 2,83 metros

Hallemos ahora la distancia que recorre el gusanito alegre. Llam¨¦mosla y. Como camina a lo largo de la base del cono, dividiendo entre 2 la longitud de la circunferencia que forma la base obtenemos el resultado:

y = (2 x pi x r)/2 = pi, luego ser¨¢ aproximadamente 3,14 metros

Recordando que la velocidad de ambos es 1mm/s el tiempo empleado es:

t(astuto) = 2,83m/0,001m/s = 2828,4 s, aproximadamente 47 minutos

t(alegre)= 3,14m/0,001m/s = 3141,6s, aproximadamente 52 minutos

Como vemos el gusanito astuto tarda en el recorrido unos 5 minutos menos que su hermano, y, por desgracia, a pesar de que sali¨® 3 minutos m¨¢s tarde la golondrina se lo come.

En este caso las soluciones correctas han seguido pr¨¢cticamente todas este camino, pero aun as¨ª queremos destacar las de Busto Bocanegra y Miguel Garriga por, adem¨¢s de ser correctas, sus representaciones gr¨¢ficas de la geod¨¦sica del cono en 3 dimensiones. Tambi¨¦n las de Jos¨¦ Barrera G¨®mez, Vicente G¨®mez, Andreu Soler Mira y Javier Masip Us¨®n por sus reflexiones y propuestas de generalizaci¨®n y mejora del desaf¨ªo.

Es interesante comentar las soluciones que proponen las c¨®nicas como curvas ¨®ptimas para el gusanito astuto. Aunque son incorrectas (la geod¨¦sica es un poco m¨¢s corta), es de apreciar el trabajo de sus autores realizando los c¨¢lculos, que no son triviales (en algunos casos involucran incluso an¨¢lisis num¨¦ricos). Es una l¨¢stima que no hayan encontrado la ecuaci¨®n de la geod¨¦sica del desaf¨ªo, que es la soluci¨®n alternativa al problema, aunque un poco m¨¢s t¨¦cnica. De hecho no se ha recibido ninguna respuesta con el c¨¢lculo exacto de la ecuaci¨®n de la geod¨¦sica.

Por ¨²ltimo, tanto Vadym Paziy como los organizadores queremos dar las gracias al profesor Lorenzo Abellanas Rap¨²n, del departamento de F¨ªsica Te¨®rica II de la Facultad de Ciencias F¨ªsicas de la Universidad Complutense de Madrid, ya que el desaf¨ªo est¨¢ inspirado en un problema que cont¨® ¨¦l en clase de Geometr¨ªa Diferencial Cl¨¢sica durante el curso 2007-2008.

Dos gusanitos y una golondrina voraz

La golondrina cenar¨¢ gusano astuto