As¨ª se cuadra un rect¨¢ngulo

Ya hay soluci¨®n para el trig¨¦simo quinto desaf¨ªo matem¨¢tico con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. Marta Macho Stadler, profesora de Geometr¨ªa en la Universidad del Pa¨ªs Vasco, propuso el problema (ver v¨ªdeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (v¨ªdeo de la derecha).

Para este desaf¨ªo se han recibido en el plazo marcado 485 respuestas, de las que un 90% eran correctas. La ganadora de una biblioteca matem¨¢tica como la que entrega cada semana EL PA?S ha sido en esta ocasi¨®n Dolores Rico Pay¨¢.

Recordemos que el desaf¨ªo consist¨ªa en averiguar las medidas de un rect¨¢ngulo R y de los 13 cuadrados en los que estaba subdividido, de acuerdo con la figura que se mostraba. En realidad, en la figura, los cuadrados interiores se hab¨ªan deformado en rect¨¢ngulos, pero sus alineaciones coincid¨ªan con las de los cuadrados de R. Sab¨ªamos adem¨¢s que el cuadrado rojo med¨ªa 3 cm de lado.

El desaf¨ªo consist¨ªa en averiguar los lados de cada uno de los cuadrados y las medidas del rect¨¢ngulo R. La soluci¨®n deb¨ªa incluir la lista de 12 n¨²meros correspondientes a los lados de los 12 cuadrados cuyos lados desconoc¨ªamos y, adem¨¢s, las medidas del rect¨¢ngulo R. Agradec¨ªamos adem¨¢s que se comentara el procedimiento seguido.

Ordenados de menor a mayor los lados miden -exceptuando el ya conocido- 5, 9, 11, 14, 19, 20, 24, 31, 33, 36, 39 y 42. Y el rect¨¢ngulo R mide 75 por 112 cent¨ªmetros.

Nuestra propuesta para resolver el desaf¨ªo es la siguiente. Partiendo del cuadrado rojo se trata de ir reconstruyendo el rect¨¢ngulo R paso a paso, deduciendo la medida de cada lado a partir de las longitudes de los cuadrados construidos anteriormente, y copiando la estructura del dibujo que se nos da:

Numeramos los cuadrados de 1 a 12 como se muestra (en rojo) en la imagen: estos n¨²meros representan el orden en el que vamos a ir realizando el problema. Los pasos son los siguientes:

1) suponemos que el lado del cuadrado 1 mide x,

2) as¨ª, el lado del cuadrado 2 mide x+3,

3) suponemos que el lado del cuadrado 3 mide y,

4) por lo tanto, el lado del cuadrado 4 mide x+y+3,

5) as¨ª, el lado del cuadrado 5 mide 2x+y+9,

6) se deduce que el lado del cuadrado 6 mide 2x+y+12,

7) por lo tanto, el lado del cuadrado 7 mide x+2y+3,

8) as¨ª, el lado del cuadrado 8 mide 2x-y+3,

9) se concluye que el lado del cuadrado 9 mide 3x-y+3,

10) se deduce que el lado del cuadrado 10 mide -x+4y,

11) as¨ª, el lado del cuadrado 11 mide 6y+3,

12) y por ¨²ltimo, el lado del cuadrado 12 mide -x+10y+3.

Queda entonces reconstruido el rect¨¢ngulo como se muestra en esta figura: hemos escrito las medidas de los lados de cada cuadrado en funci¨®n de los lados de dos de ellos: x (cuadrado 1). e y (cuadrado 3).

Para encontrar los valores de x y de y, basta con comparar cuadrados de zonas que no han sido relacionadas durante la construcci¨®n, por ejemplo:

1) la suma de las longitudes de los lados de los cuadrados 1 y 9 coincide con la suma de las longitudes de los lados del cuadrado rojo y del 6, es decir:

x + (3x-y+3) = 3 + (2x+y+12),

y despejando se deduce que x = y+6.

2) la suma de las longitudes de los lados de los cuadrados 10 y 12 coincide con la suma de las longitudes de los lados de los cuadrados 8 y 9, es decir:

(-x+4y) + (-x+10y+3) = (2x-y+3) + (3x-y+3),

y despejando y sustituyendo x = y+6, se deduce que y = 5 y por lo tanto x = 11.

As¨ª, se deducen las medidas de cada cuadrado sustituyendo x e y en cada cuadrado, como indica la figura y el rect¨¢ngulo mide 112 (= 42+33) por 75 (= 42 + 31 + 39) cm.

El 70% de las personas que han participado -y que han dicho como hab¨ªan abordado el ejercicio- han resuelto sistemas de 12 (o m¨¢s) ecuaciones con 12 (o m¨¢s inc¨®gnitas). Es de agradecer todo lo que han trabajado para explicar con tanta claridad y con im¨¢genes (con regla, Geogebra, CAD, etc.) sus estrategias para la resoluci¨®n del ejercicio. El 22% ha conseguido resolver el desaf¨ªo con un sistema de 2 ecuaciones con 2 inc¨®gnitas y el resto -de los que han explicado su proceso de resoluci¨®n- lo han hecho a trav¨¦s de sistemas de 3 ecuaciones con 3 inc¨®gnitas, e incluso a trav¨¦s de construcciones gr¨¢ficas. Para resolver estos sistemas de ecuaciones (sobre todo los grandes), ha habido arduos repasos a la teor¨ªa de matrices -as¨ª lo han confesado algunas personas- y se ha recurrido tambi¨¦n a programas como Excell, Solver, Wiris, MatLab, Derive, Mathematica, Procesing, etc.

Las soluciones han llegado de todos los puntos del estado, y de todos los confines del mundo: Alemania, Argentina, B¨¦lgica, Bolivia, Brasil, Chile, Colombia, Costa Rica, Estados Unidos, Francia, Grecia, Israel, Italia, M¨¦xico, Noruega, Per¨², Reino Unido, Suiza, Tailandia, Uruguay, Venezuela, ... incluso algunas personas confesaban sus dificultades para hablar castellano, pero apelaban al lenguaje universal de la matem¨¢ticas.

Luis Alberto G¨®mez Concepci¨®n escribe desde Venezuela, comentando que ha encargado a un dise?ador gr¨¢fico que monte en un lienzo la imagen del desaf¨ªo a una escala real... para adornar la recepci¨®n de su lugar de trabajo. El lienzo se titular¨¢ "DESAFIO N? 35".

Por ¨²ltimo, tanto Marta Macho Stadler como los organizadores queremos dar las gracias la revista francesa Tangente, de cuyo n¨²mero.99 (julio 2004) se extrajo el desaf¨ªo.

Un rect¨¢ngulo de cuadrados

As¨ª se cuadra un rect¨¢ngulo