Dos tri¨¢ngulos id¨¦nticos

Ya hay soluci¨®n para el trig¨¦simo noveno desaf¨ªo matem¨¢tico con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola.

Miguel ?ngel Morales Medina, licenciado en Matem¨¢ticas por la Universidad de Granada y editor del Bolet¨ªn de la RSME, propuso este pen¨²ltimo desaf¨ªo (ver v¨ªdeo de la izquierda) y ahora lo resuelve (v¨ªdeo de la derecha). Recordemos en qu¨¦ consist¨ªa.

Partiendo de un tri¨¢ngulo cualquiera de v¨¦rtices ABC, tomamos dos de sus lados, AB y AC por ejemplo, y dibujamos cuadrados apoyados en ellos. Llamamos I y J a los centros de los dos cuadrados y H al punto medio del lado del tri¨¢ngulo donde no hemos apoyado ning¨²n cuadrado (el BC en este caso). Se ped¨ªa demostrar que los segmentos HI y HJ tienen la misma longitud y que adem¨¢s forman un ¨¢ngulo de 90?.

Esta semana se han recibido 285 respuestas dentro del plazo, la gran mayor¨ªa de ellas, el 95%, correctas. Las que se han considerado como incorrectas lo son principalmente porque alguna de las demostraciones pedidas no se ha hecho con suficiente claridad o simplemente no se ha hecho. Respecto al tipo de soluciones recibidas, lo m¨¢s destacable es la tremenda variedad de soluciones que se han enviado para este desaf¨ªo. Podr¨ªamos citar cerca de una decena de formas distintas de resolverlo, aunque algunas de ellas son equivalentes. El ganador de una de biblioteca matem¨¢tica como la que entrega cada semana EL PA?S ha sido en esta ocasi¨®n Jos¨¦ Mar¨ªa Vaquero Guerri, de Madrid.

La soluci¨®n que se presenta en el v¨ªdeo es posiblemente la m¨¢s simple de todas las que conocemos para este problema, en el sentido de que es la que necesita de unos conocimientos m¨¢s b¨¢sicos: semejanza de tri¨¢ngulos y un poco de vista. Veamos c¨®mo hacerlo.

Llamemos K al punto medio del lado AB y L al punto medio del lado AC, y dibujemos los tri¨¢ngulos HKJ y HLI. Representamos tambi¨¦n el segmento KL en l¨ªnea discontinua (ver la figura 1 en la parte superior o la ampliaci¨®n aqu¨ª).

Como el segmento LH une los puntos medios de los lados AC y BC, entonces es paralelo al otro lado, el AB. Lo mismo ocurre con el segmento KL, que como une los puntos medios de los lados AB y AC ser¨¢ paralelo al otro lado, el BC. Esto nos dice que BHLK es un paralelogramo, por lo que, en particular, los segmentos KB y LH son iguales. Pero KB y JK tambi¨¦n son iguales, por lo que obtenemos que JK=LH. El mismo razonamiento nos sirve para llegar a que ALHK es un paralelogramo, por lo que, en particular, los segmentos AL y KH son iguales. Pero AL y LI tambi¨¦n lo son, por lo que ahora se obtiene que KH=LI.

Por otro lado, los tri¨¢ngulos KBH y LHC tienen sus lados iguales y paralelos, por lo que el ¨¢ngulo BKH y el ¨¢ngulo HLC son iguales.

Recapitulemos. Tenemos que los tri¨¢ngulo JKH y el HLI (pintados de rojo y verde respectivamente en la figura dos, que aparece aqu¨ª ampliada) tienen dos lados iguales (KJ=LH y KH=LI) y adem¨¢s tambi¨¦n tienen igual el ¨¢ngulo formado por esos lados (el ¨¢ngulo JKH es 90?+BKH, y el HLI es 90?+HLC, que hemos visto antes que es igual a BKH). Con esto podemos concluir que ambos tri¨¢ngulos son iguales, y el hecho de que sean iguales nos asegura que los segmentos HI y HJ tienen la misma longitud.

Falta demostrar que estos dos segmentos forman un ¨¢ngulo de 90?. Pero esto es sencillo: JK forma un ¨¢ngulo de 90? con AK, que es paralelo a LH. Por tanto JK y LH forman un ¨¢ngulo de 90?. Del mismo modo, LI forma un ¨¢ngulo de 90? con AL, que es paralelo a KH. Por tanto LI y KH forman un ¨¢ngulo de 90?. Como los tri¨¢ngulos son iguales, todo esto nos asegura que los segmentos HI y HJ forman un ¨¢ngulo de 90?.

Otras soluciones

Aunque ha habido una buena cantidad de respuestas con esta soluci¨®n, no ha sido la m¨¢s frecuente. La respuesta correcta m¨¢s repetida ha sido una demostraci¨®n vectorial, siendo Juan Jos¨¦ Gibaja Martins quien la envi¨® en primer lugar. Podr¨ªamos resumirla as¨ª: colocamos el origen de coordenadas en el punto medio del lado donde no se apoyaba ning¨²n cuadrado, el punto H en la figura, y calculamos las coordenadas de los vectores HI y HJ que unen el origen con los dos centros de los tri¨¢ngulos. Despu¨¦s se calcula el m¨®dulo de esos vectores obteniendo el mismo resultado, hecho que demuestra la primera cuesti¨®n del desaf¨ªo. Para la segunda se utiliza que si el producto escalar de dos vectores en el plano es nulo (como es el caso) entonces los vectores son ortogonales, es decir, forman un ¨¢ngulo de 90?. En la l¨ªnea del c¨¢lculo vectorial tambi¨¦n ha habido respuestas que se salieron del plano para adentrarse en el espacio tridimensional, como la de Jos¨¦ Luis Tetu¨¢n Go?i, que us¨® un vector perpendicular al plano de la figura y que el producto vectorial de dos vectores nos da como resultado un vector perpendicular a los dos.

Otra de las respuestas relativamente frecuente ha estado relacionada con los n¨²meros complejos, concretamente con la siguiente propiedad: multiplicar un n¨²mero complejo por i lo que hace es girarlo 90? en sentido antihorario. Fijando entonces el centro de coordenadas en H, como antes, y demostrando que el n¨²mero complejo que representa a J es igual al n¨²mero complejo que representa a I multiplicado por la unidad imaginaria i tenemos demostradas las dos partes del desaf¨ªo. Jos¨¦ Luis Arregui Casaus fue el primero que envi¨® este tipo de soluci¨®n.

Ha habido m¨¢s soluciones realmente interesantes. Algunos, como Borja Cadenato, han propuesto duplicar la figura inicial pegando los dos tri¨¢ngulos por el lado donde no se apoyaba cuadrado, demostrando despu¨¦s que al unir consecutivamente los centros de los cuatro cuadrados obtenidos se obtiene a su vez otro cuadrado (resultado conocido como teorema de Thebault, como apuntaba Fernando Blasco en su soluci¨®n). Otros, como Alejandro Garc¨ªa Lamp¨¦rez, han resuelto el desaf¨ªo aplicando convenientemente el teorema del seno y el teorema del coseno. Y otros, muchos, han enviado demostraciones sint¨¦ticas distintas a la propuesta en el v¨ªdeo, entre los que podemos nombrar a Ignacio Larrosa y a Iago Vaamonde Paniagua (esta semana, en prosa).

Para finalizar, es de justicia valorar el trabajo de todas las personas que han enviado m¨¢s de una soluci¨®n, entre las que destacan Jes¨²s Campos, que ha enviado cuatro soluciones distintas, y Sebasti¨¤ Roig, que ha enviado cinco.

El jueves presentaremos el 40? y ¨²ltimo desaf¨ªo.

Dos segmentos iguales y en ¨¢ngulo recto

Dos tri¨¢ngulos id¨¦nticos