Casi un tercio de n¨²meros bonitos

Ya hay soluci¨®n para el desaf¨ªo matem¨¢tico extraordinario de Navidad presentado por EL PA?S y la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola con motivo del sorteo de la loter¨ªa. Adolfo Quir¨®s Graci¨¢n, profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y Vicepresidente de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola, present¨® el desaf¨ªo (pincha aqu¨ª para ver el enunciado completo) que consist¨ªa en decidir cu¨¢ntos de los n¨²meros que participan en el sorteo de Loter¨ªa de Navidad -recordad, del 00000 al 99999- cumplen una y solo una de estas tres condiciones:

a) es divisible entre 5;

b) da resto 2 al dividirlo entre 7;

c) la suma de sus cifras es divisible entre 9.

Estos eran los n¨²meros que llam¨¢bamos bonitos. Se han recibido 670 soluciones, procedentes de al menos 14 pa¨ªses distintos, de las que un 57 % han dado con la respuesta correcta, que es que 33.016 n¨²meros son bonitos. El ganador de una biblioteca matem¨¢tica como la que ofreci¨® EL PA?S en el quiosco durante 2011, as¨ª como, por cortes¨ªa de la RSME, del libro 'Desaf¨ªos Matem¨¢ticos', una publicaci¨®n de SM en la que se recogen los 40 desaf¨ªos que ofrecimos en la web semana a semana, ha sido Gustavo Lau, que, aunque es de Cardedeu (Barcelona), vive en Londres.

Antes de presentar la soluci¨®n queremos se?alar que ha habido una cierta confusi¨®n sobre si el 00000 era o no m¨²ltiplo de 5 y de 9 (dicho de otra manera, si da resto 0 al dividirlo entre 5 y 9). Los matem¨¢ticos consideran que s¨ª, dado que 0=5x0=9x0, y una vez que se introduce el 0 en el sistema no hay motivo para excluirlo como factor de un producto o cociente de una divisi¨®n. Pero, en cualquier caso, la soluci¨®n al desaf¨ªo no cambia dado que, bien por exceso o por defecto, el 0 no es en ning¨²n caso un n¨²mero bonito. Tras esta aclaraci¨®n, veamos la soluci¨®n propuesta por el profesor Quir¨®s.

Un c¨¢lculo paso a paso

Puesto que no es del todo f¨¢cil calcular directamente cu¨¢ntos n¨²meros satisfacen una condici¨®n pero no las otras dos, el primer paso es calcular cu¨¢ntos n¨²meros cumplen cada una de las condiciones.

Tenemos 100.000 n¨²meros, y uno de cada cinco es m¨²ltiplo de 5. As¨ª que la condici¨®n a) la cumplen 100.000/5=20.000. El primero es el 00000 y el ¨²ltimo el 99995.

Con respecto a la condici¨®n c), quiz¨¢s record¨¦is que la suma de las cifras es divisible entre nueve exactamente cuando el n¨²mero es divisible entre 9. Esto lo cumple uno de cada nueve n¨²meros, pero como 100.000/9 no es un n¨²mero entero hay que tener un poquito de cuidado. El primero que cumple la condici¨®n es el 00000, y despu¨¦s de ¨¦l la condici¨®n se va cumpliendo de nueve en nueve n¨²meros. Es decir, tenemos en total 1+(99.999/9)=1+11.111=11.112 n¨²meros que satisfacen la condici¨®n c). El primero es el 00000 y el ¨²ltimo es el 99999.

Para la condici¨®n b) procedemos del mismo modo: a partir del primer n¨²mero que la cumpla iremos saltando de siete en siete para ver cu¨¢ntos tenemos en total. El primer n¨²mero que nos sirve es el 00002, y despu¨¦s nos quedan 99997 n¨²meros m¨¢s, en los que caben 99997/7=14.285,28¡­ ciclos de siete n¨²meros. Los decimales indican que no llegamos a completar un nuevo ciclo, as¨ª que en total tenemos 1+14.285=14.286 n¨²meros de Loter¨ªa que satisfacen la condici¨®n b).

Ahora la tentaci¨®n ser¨ªa decir que la respuesta es que en total son bonitos 20.000+11.112+14.286=45.398 n¨²meros. Pero hay que vencer esa tentaci¨®n, porque en esa suma hemos contado los n¨²meros que satisfacen m¨¢s de una de las condiciones, y esos n¨²meros son feos. De hecho hemos contado dos veces los n¨²meros que satisfacen dos de la condiciones, ?y tres veces los que satisfacen las tres condiciones!. Hay que restarlos.

?Cu¨¢ntos n¨²meros satisfacen a la vez a) y c)? Son los n¨²meros que son a la vez m¨²ltiplos de 5 y de 9. Como lo primero se produce en ciclos de cinco n¨²meros y lo segundo en ciclos de nueve, los ciclos coincidir¨¢n tras un n¨²mero de pasos igual al m¨ªnimo com¨²n m¨²ltiplo de 5 y 9, que es 45 (pod¨ªamos haber dicho directamente que si un n¨²mero es m¨²ltiplo de 5 y de 9 es que es m¨²ltiplo de 45, pero usaremos luego el argumento con los ciclos, por lo que preferimos presentarlo as¨ª). El primer n¨²mero v¨¢lido es el 00000, y luego nos caben 99.999/45=2222,2 ciclos. Luego hay 1+2.222=2.223 n¨²meros que satisfacen simult¨¢neamente las condiciones a) y c).

Respecto a los n¨²meros que satisfacen a la vez a) y b), empezamos por buscar el primero. 00002 no sirve, as¨ª que vamos sumando 7 hasta encontrar uno valido: 00009 no, 00016 no, 00023 no, 00030 s¨ª. Y a partir de 00030 los m¨²ltiplos de 5 aparecen en ciclos de cinco y los que dan resto 2 al dividir entre 7 en ciclos de siete. Luego las dos condiciones se vuelven a repetir en ciclos de 35 n¨²meros, de los que, tras el 00030, tenemos 99.969/35=2.856,25¡­ Por tanto los n¨²meros que satisfacen a) y b) son 1+2.856=2.857.

Para ver cu¨¢ntos satisfacen b) y c) procedemos de manera an¨¢loga. El primero que nos sirve es el 00009, y despu¨¦s las condiciones se repiten cada 63 n¨²meros (63 es el m¨ªnimo com¨²n m¨²ltiplo de 7 y 9). Nos caben por tanto 99.990/63=1.587,14¡­, por lo que hay 1+1.587=1.588 n¨²meros de Loter¨ªa que satisfacen las condiciones b) y c).

As¨ª pues, para eliminar los n¨²meros que son feos porque satisfacen dos de las condiciones hab¨ªa que restar al resultado anterior: 2x(2.223+2.857+1.588)=13.336

Volver a sumar

?Pero cuidado! Si hacemos esto habremos restado seis veces los n¨²meros que satisfacen las tres condiciones, y s¨®lo ten¨ªamos que restarlos tres veces. Para arreglarlo, vamos a volver a sumar las tres veces que los hemos restado de m¨¢s.

As¨ª que calculamos cu¨¢ntos n¨²meros satisfacen las tres condiciones. Buscamos entre los m¨²ltiplos de 5 y de 9, es decir, m¨²ltiplos de 45, cu¨¢l es el primero que da resto 2 al dividirlo entre 7. 00000 no, 00045 no, 00090 no, 00135 s¨ª. Y ahora, como el m¨ªnimo com¨²n m¨²ltiplo de 5, 9 y 7 es 315, esta es la longitud de los ciclos en los que van apareciendo los n¨²meros que satisfacen las tres condiciones. Despu¨¦s de 00135 tenemos 99.864/315=317,02¡­ de estos ciclos, y por tanto hay 1+317=318 n¨²meros que satisfagan a la vez las tres condiciones.

Poniendo todo esto junto, resulta que, con la definici¨®n dada en el desaf¨ªo, los n¨²meros de loter¨ªa bonitos son: 20.000+11.112+14.286-2x(2.223+2.857+1.588)+3x318=33.016 n¨²meros. Estamos hablando pues de casi casi un tercio del total.

La t¨¦cnica que hemos seguido para el c¨¢lculo se conoce como principio de 'inclusi¨®n-exclusi¨®n'. Y, aunque no lo hayamos utilizado directamente, un resultado muy ¨²til para trabajar con n¨²meros que satisfacen distintas condiciones de divisibilidad es el llamado Teorema chino del resto.

Soluciones decimon¨®nicas

La mayor¨ªa de las respuestas, tanto correctas como incorrectas, han dado argumentos similares al presentado por Adolfo Quir¨®s. Manuel Pantoja incluso ha dibujado los ciclos. Muchas de las soluciones incorrectas fallan por muy poco. Los dos motivos m¨¢s frecuentes son, o bien que el lector se ha hecho un peque?o l¨ªo con el 00000 (cont¨¢ndolo unas veces s¨ª y otras no), o bien que ha seguido las reglas usuales de redondeo sin observar que aqu¨ª las colas del problema hab¨ªa que tratarlas con cuidado.

Estudiar las colas es lo que han hecho algunos lectores, la primera de ellos Jana Gonz¨¢lez Morala. Quienes lo han hecho se han dado cuenta de que el patr¨®n se repet¨ªa en bloques de 315 n¨²meros, han encontrado cu¨¢ntos n¨²meros bonitos hay en cada uno de estos bloques y han a?adido los n¨²meros bonitos que quedaban fuera de los bloques completos (100.000 no es divisible entre 315). Este es un procedimiento elemental, quiz¨¢s algo m¨¢s trabajoso que el presentado en el v¨ªdeo, pero muy natural. Y ciertamente al alcance de los gaditanos de 1812.

El m¨¦todo m¨¢s eficaz de los presentados utiliza c¨¢lculo de probabilidades. Es m¨¢s r¨¢pido que los otros pero requiere un cuidado exquisito en el tratamiento de los decimales, como el que ha tenido, entre otros, Juan Jos¨¦ Gallardo Crespo.

Varios lectores han redactado sus respuestas en estilo decimon¨®nico. Nos ha hecho sonre¨ªr especialmente Diego A. Mart¨ªnez Vidal, que se presenta como ¡°viejo ingeniero¡± y relata que ha empleado para escribir los c¨¢lculos que requer¨ªa su soluci¨®n un rollo de papel higi¨¦nico ya que, seg¨²n nos informa, se invent¨® en 1798 (aunque no se comercializ¨® hasta medio siglo despu¨¦s) y por tanto estaba ya a disposici¨®n de los m¨¢s avanzados entre los participantes en el primer sorteo de loter¨ªa, celebrado en C¨¢diz el 4 de marzo de 1812.

Si Diego Mart¨ªnez es un viejo ingeniero, tambi¨¦n han enviado soluciones varios lectores en edad escolar. A ellos y a todos los que han tenido la amabilidad de participar, les deseamos felices fiestas en nombre de El Pa¨ªs y de la RSME.