Una soluci¨®n a la parrilla

Adolfo Quir¨®s, vicepresidente de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola, profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y coordinador de esta secci¨®n; resuelve el primer desaf¨ªo matem¨¢tico que este verano planteamos a nuestros lectores (puede ver aqu¨ª el v¨ªdeo). El ganador de la colecci¨®n de libros Grandes Ideas de la Ciencia ha sido Guillermo Vicente, un ingeniero aeron¨¢utico de Sabadell que lleva ya unos a?os afincado en Torrelodones (Madrid).

Para evitar confusiones y en atenci¨®n tambi¨¦n a nuestros lectores sordos incluimos la soluci¨®n por escrito a continuaci¨®n:

Consideremos primero las reglas ACB. Se pueden cambiar los valores de todas las casillas de una fila, de una columna, o de una de las dos diagonales. Cualquiera de estos movimientos cambia el signo en 4 casillas, de modo que si empezamos con una cantidad impar de -1, y por tanto con el producto de todas las casillas igual a -1, ese producto seguir¨¢ siendo -1 despu¨¦s de cualquier movimiento. Por tanto ni a partir de la parrilla 'a' ni a partir de la 'b' podemos llegar a tener un 1 en todas las casillas.

Con las reglas NBA, donde tambi¨¦n podemos cambiar los valores de todas las casillas de una recta paralela a una de las dos diagonales, el n¨²mero de cambios puede ser par o impar. De hecho empezando en la parrilla 'a' se puede ganar en dos pasos, indicados en las casillas sombreadas de esta figura:

Sin embargo, si empezamos en la posici¨®n b y nos fijamos en las casillas sombreadas (ver figura de abajo) podemos observar que cualquiera de los movimientos permitidos por las reglas NBA cambia un n¨²mero par (ninguna o dos) de estas casillas. Y como en ellas hay tres -1 no se puede ganar a partir de la parrilla 'b'.