19 rebotes en 25 metros

Javier Cilleruelo, profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), resuelve el cuarto desaf¨ªo matem¨¢tico que este verano planteamos a nuestros lectores (puede ver aqu¨ª el v¨ªdeo). Una vez realizado el sorteo entre las respuestas correctas, de las 405 recibidas, la ganadora de la colecci¨®n de libros Grandes Ideas de la Ciencia ha sido Eva Catal¨¤, quien tiene 16 a?os y est¨¢ a punto de comenzar 1? de bachillerato en el IES L'Eliana (Valencia) adem¨¢s de proseguir con sus Estudios Profesionales de M¨²sica en percusi¨®n y piano.

Para evitar confusiones y en atenci¨®n tambi¨¦n a nuestros lectores sordos incluimos la soluci¨®n por escrito a continuaci¨®n:

La manera m¨¢s sencilla de analizar la trayectoria de la bola en la mesa de billar consiste en dibujar copias de la mesa pegadas entre s¨ª y trazar una l¨ªnea recta en la direcci¨®n original de la bola, como muestra la figura de abajo. Cada intersecci¨®n de la recta con una l¨ªnea vertical o una l¨ªnea horizontal coincide con un rebote en una banda.

Llamemos X al n¨²mero de cortes con l¨ªneas verticales e Y al n¨²mero de cortes con l¨ªneas horizontales. Teniendo en cuenta las dimensiones del tapete y que la bola ha recorrido 25 metros, el Teorema de Pit¨¢goras aplicado al tri¨¢ngulo rect¨¢ngulo de la figura proporciona la igualdad: 25^2 = (2X)^2 + Y^2

Hay tres soluciones posibles de esta ecuaci¨®n con X e Y enteros no negativos y son las siguientes:

25^2 = 24^2 + 7^2; donde? X=12, Y=7

25^2 = 0^2 + 25^2; donde? X=0, Y=25

25^2 = 20^2 + 15^2; donde? X=10, Y=15

La primera soluci¨®n corresponde a la trayectoria descrita en la primera ecuaci¨®n y en ese caso el n¨²mero de rebotes en las bandas es 12+7=19. Es f¨¢cil comprobar que en este caso la bola no ha pasado anteriormente por el centro de la mesa ni por ninguna esquina. En la figura de abajo, que nos ha enviado Alejandro Montes desde Ciudad de M¨¦xico junto a su soluci¨®n, se puede ver la soluci¨®n gr¨¢fica en la mesa original.

La segunda soluci¨®n corresponde a lanzar la bola perpendicularmente sobre la banda m¨¢s larga pero en ese caso la bola regresa al centro de la mesa despu¨¦s de haber recorrido un metro.

La tercera soluci¨®n corresponde a la trayectoria de la figura de la izquierda y si bien tambi¨¦n regresa al centro de la mesa despu¨¦s de haber recorrido 25 metros, ya ha pasado por el centro varias veces anteriormente y por lo tanto esta soluci¨®n no es v¨¢lida. La ¨²nica soluci¨®n que cumple todas las condiciones del problema es la primera, as¨ª que el n¨²mero de rebotes que nos pide el problema es 19.

Por ¨²ltimo no queremos despedirnos de este desaf¨ªo sin destacar que, en una feliz coincidencia, est¨¢ relacionado con algunas de las investigaciones reconocidas hace pocos d¨ªas con las Medallas Fields. Tanto Maryam Mirzakhani, que ha sido la primera mujer en recibir la medalla, como Artur ?vila, el primer matem¨¢tico latinoamericano galardonado, han trabajado en problemas que tienen que ver con billares, aunque en un sentido mucho m¨¢s general que el habitual.