El camino m¨¢s corto entre dos puntos no siempre es recto

Madrid y Pek¨ªn est¨¢n aproximadamente en la misma latitud, unos 40 grados norte. Sin embargo, el trayecto de avi¨®n entre las capitales no recorre la l¨ªnea de paralelo 40, sino que atraviesa latitudes mucho m¨¢s septentrionales, llegando incluso a pasar al norte de Mosc¨², en el paralelo 55. La explicaci¨®n es sencilla: el segmento de paralelo entre Madrid y Pek¨ªn no es el camino m¨¢s corto entre ambas ciudades sobre la superficie de la Tierra. Esto puede resultar chocante, ya que tenemos en mente la representaci¨®n de la Tierra en forma de un mapa plano donde los paralelos son l¨ªneas rectas, y sabemos que la recta es el camino m¨¢s corto entre dos puntos. Sin embargo, y aunque alguna gente (poca, por suerte) se empe?e en afirmar lo contrario, la Tierra no es plana, sino que es aproximadamente una esfera.

Entonces, ?cu¨¢l es el camino m¨¢s corto entre dos puntos de una esfera? Son las trayectorias dadas por los ¡°c¨ªrculos m¨¢ximos¡±. Un ejemplo son los meridianos (pero no los paralelos, salvo el ecuador). En general, un c¨ªrculo m¨¢ximo se define como la intersecci¨®n de la esfera con un plano que pasa por el centro de la misma; dicho de otra manera, la curva que se obtiene a partir de un meridiano, rotando la esfera sobre su centro. Para que no queden dudas: un c¨ªrculo m¨¢ximo es el lugar por donde hay que cortar una naranja con un cuchillo para que nos queden dos partes exactamente iguales.

Pero, dados dos puntos cualesquiera de la esfera, ?siempre hay un c¨ªrculo m¨¢ximo que pase por ellos? As¨ª es: basta con tomar un plano que pase por los dos puntos y por el centro de la esfera, e intersecarlo con la esfera: el resultado es el c¨ªrculo m¨¢ximo deseado. M¨¢s a¨²n, tal plano es ¨²nico siempre que los puntos no sean antipodales (como los polos norte y sur), con lo cual el c¨ªrculo m¨¢ximo entre ambos tambi¨¦n. Cuando tomamos los puntos antipodales, existen infinitos c¨ªrculos m¨¢ximos que pasan por esos dos puntos, como es el caso de los infinitos meridianos que unen los polos.

El segmento m¨¢s corto del c¨ªrculo m¨¢ximo que pasa por dos puntos dados (en el caso de puntos antipodales, hay infinitos segmentos diferentes de igual longitud, que vienen de los infinitos c¨ªrculos m¨¢ximos que pasan por ellos) es el camino m¨¢s corto, sobre la superficie de la esfera, entre ellos. Esto m¨¢s f¨¢cil de visualizar en el caso en el que uno de los puntos est¨¢ situado en el polo norte de la esfera, con lo que el c¨ªrculo m¨¢ximo en cuesti¨®n es un meridiano. En efecto, cualquier camino entre el polo norte y otro punto A se puede ¡°enderezar¡± hasta colocarlo sobre el meridiano que pasa por A, pero nos habremos pasado de A, a no ser que el camino original fuera el segmento de meridiano mismo. En el caso general, cuando los puntos est¨¢n ubicados arbitrariamente en la esfera, basta con aplicar una rotaci¨®n de la esfera de modo que uno de los dos puntos est¨¦ situado en el polo norte, con lo que podemos aplicar el argumento anterior, que es ¡°invariante por rotaci¨®n¡±.

La suma de los ¨¢ngulos de un tri¨¢ngulo en la esfera no es 180 grados, como s¨ª sucede en el plano. Por ejemplo, hay tri¨¢ngulos esf¨¦ricos que tienen ?tres ¨¢ngulos rectos!

Por tanto, los c¨ªrculos m¨¢ximos juegan el papel, en el caso de la esfera, de las rectas en el plano. Pero, ?ojo!, hay algunas diferencias importantes entre ambos casos. En primer lugar, entre dos puntos del plano existe un ¨²nico camino m¨¢s corto; en cambio, en una esfera, como ya hemos mencionado, entre dos puntos antipodales existen infinitos c¨ªrculos m¨¢ximos, y por lo tanto infinitos caminos de longitud m¨ªnima entre ellos.

Por otra parte, la suma de los ¨¢ngulos de un tri¨¢ngulo en la esfera no es 180 grados, como s¨ª sucede en el plano. Por ejemplo, hay tri¨¢ngulos esf¨¦ricos que tienen ?tres ¨¢ngulos rectos! De hecho, la suma de los ¨¢ngulos de cualquier tri¨¢ngulo esf¨¦rico es mayor que 180 grados, o ¦Ð radianes, por lo que podemos decir, de manera informal, que los tri¨¢ngulos en una esfera son m¨¢s ¡°gordos¡± que en el plano. La cantidad que la suma excede de ¦Ð recibe el nombre de exceso angular del tri¨¢ngulo en cuesti¨®n. El llamado teorema de Gauss-Bonnet afirma que, sobre una esfera de radio uno, el exceso angular de cualquier tri¨¢ngulo es igual al ¨¢rea del mismo. Esto constituye una diferencia fundamental con la geometr¨ªa del plano, en la cual existen tri¨¢ngulos semejantes, es decir, con los mismos ¨¢ngulos pero diferentes ¨¢reas. En la geometr¨ªa esf¨¦rica esto no es posible.

La geometr¨ªa de la esfera constituye un ejemplo de ¡°geometr¨ªa no eucl¨ªdea¡±, es decir, donde no se satisfacen todos los axiomas propuestos por Euclides en su libro Los Elementos. En concreto, no se verifica el postulado de las paralelas, que afirma que, dada una recta y un punto exterior a la misma, hay una ¨²nica recta paralela a la recta dada, y que pasa por dicho punto. En la esfera no se cumple esta afirmaci¨®n, pero hay m¨¢s modelos geom¨¦tricos que no lo hacen. En dos dimensiones, existen exactamente tres tipos de geometr¨ªa (de curvatura constante): la eucl¨ªdea, la esf¨¦rica (donde los tri¨¢ngulos son m¨¢s gordos que en los tri¨¢ngulos en el plano) y la hiperb¨®lica (donde los tri¨¢ngulos son m¨¢s finos). Esta ¨²ltima es dif¨ªcil de describir y tambi¨¦n visualizar; en efecto, un teorema demostrado a principios del siglo XX por el matem¨¢tico alem¨¢n David Hilbert afirma que es imposible realizar un espacio hiperb¨®lico bidimensional en el espacio eucl¨ªdeo de tres dimensiones. Pero eso es una historia para otro d¨ªa.

Javier Aramayona es investigador Ram¨®n y Cajal en la Universidad Aut¨®noma de Madrid y miembro del ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria (ICMAT)

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