P¨¢jaros, peces y balanzas

La ex¨®tica moneda de la ilustraci¨®n de la semana pasada fue emitida en Rusia en el siglo XVIII, durante el reinado de Catalina la Grande, pesaba cerca de 60 gramos y es la moneda de curso legal m¨¢s pesada que se conoce. Esa es su relaci¨®n con el art¨ªculo, titulado ¡°La moneda m¨¢s pesada¡±.

Dadas 9 monedas de las cuales una es falsa y pesa m¨¢s que las dem¨¢s, podemos identificar la falsa con solo dos pesadas. Ponemos 3 en un platillo y 3 en el otro; si la balanza est¨¢ en equilibrio, sabemos que esas 6 son buenas, luego la falsa es una de las 3 restantes. Comparamos 2 de ellas; si la balanza est¨¢ en equilibrio, la falsa es la restante; si la balanza se inclina hacia un lado, ah¨ª est¨¢ la falsa. Si en la primera pesada la balanza se inclina hacia un lado, una de las 3 de ese lado es la falsa, y procedemos como en el caso anterior.

Si en vez de 9 monedas tenemos 27, comparando 9 y 9 en la primera pesada llegamos al caso anterior, por lo que bastar¨¢n tres pesadas. Y si son 81, comparando 27 y 27¡­ En general, si tenemos 3 elevado a n monedas y una de ellas pesa m¨¢s, bastar¨¢n n pesadas para identificar la falsa moneda.

La situaci¨®n se complica, y mucho, si sabemos que una de las monedas es falsa, pero ignoramos si pesa m¨¢s o menos que las aut¨¦nticas. La versi¨®n con 12 monedas es un cl¨¢sico ampliamente estudiado desde 1945 y sobre el que hay abundante informaci¨®n en la red. Como an¨¦cdota. Raymond Queneau le habl¨® a su amigo Jacques Lacan del acertijo de las 12 monedas, y el famoso psiquiatra franc¨¦s lo ampli¨® a 13: seg¨²n ¨¦l, es posible resolver el problema en tres pesadas incluso con una moneda m¨¢s, mediante lo que llama la ¡°posici¨®n por tres y uno¡±. No contento con esto, Lacan afirm¨®: ¡°Esta posici¨®n por tres y uno es la forma original de la l¨®gica de la sospecha¡±. Sin comentarios (por mi parte: mis sagaces lectoras/es pueden comentar lo que consideren oportuno).

Animalillos inquietos

No guardemos todav¨ªa la balanza, pues ahora vamos a comparar dos jaulas iguales con sendos pajaritos, tambi¨¦n iguales, posados en sus respectivos columpios. Ponemos una jaula en cada platillo y la balanza est¨¢ en equilibrio, como era de esperar. Pero, de pronto, uno de los pajaritos revolotea durante unos segundos por el interior de su jaula, luego se posa de nuevo en el columpio y, agotado por el esfuerzo, se desmaya y cae al fondo de la jaula, donde queda inm¨®vil. Para alivio de todos, se recupera r¨¢pidamente y sube de un salto a su columpio. ?C¨®mo se ha comportado la balanza a lo largo de todo este proceso?

Ahora, en vez de dos jaulas, tenemos en la balanza dos peceras iguales con sendos pececillos id¨¦nticos nadando apaciblemente en su interior. De pronto, uno de los peces salta fuera del agua, aunque por suerte vuelve a caer dentro de su pecera. ?Qu¨¦ pasa con la balanza?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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