La partida infinita

El problema de los 16 caballos, planteado la semana pasada, no ha sido resuelto por ning¨²n lector, as¨ª que dar¨¦ una pista tetradimensional (que, de paso, da idea de la singular belleza del problema) por si alguien se anima a intentarlo: el diagrama de la disposici¨®n de los 16 caballos en el tablero y sus amenazas mutuas es la proyecci¨®n de un hipercubo.

Y quien en vez de subir de dos dimensiones a cuatro prefiera bajar a una, puede abordar el siguiente problema de ajedrez unidimensional, emparentado con el de Guarini (ver art¨ªculo anterior), propuesto por nuestro comentarista habitual Luca Tanganelli:

En un tablero de 1x8 con las piezas dispuestas como muestra la figura, el rey y la torre se mueven como siempre mientras que el caballo salta dos casillas a un lado o al otro. Juegan las blancas y ganan.

No se puede hablar del problema de Guarini y sus afines sin mencionar su variante m¨¢s famosa, que consiste en intercambiar las posiciones de tres caballos blancos y tres caballos negros dispuestos en un tablero de 3x4 como se indica en la figura.

Quienes est¨¦n interesados en profundizar en el problema de Guarini y sus variantes, encontrar¨¢n un excelente art¨ªculo de Ra¨²l Ib¨¢?ez para Cuaderno de Cultura Cient¨ªfica en el siguiente enlace: https://culturacientifica.com/2021/01/13/ajedrez-y-matematicas-el-problema-de-guarini/

La sucesi¨®n de Thue

A principios del siglo XX, el matem¨¢tico noruego Axel Thue descubri¨® la sucesi¨®n de n¨²meros binarios que lleva su nombre (tambi¨¦n conocida como sucesi¨®n de Thue-Morse, o de Prouhet-Thue-Morse), que se construye de la siguiente manera: el primer t¨¦rmino es 0, y los siguientes t¨¦rminos se forman a?adiendo a continuaci¨®n del anterior su complementario (su complemento booleano, que consiste en sustituir cada 0 por un 1 y viceversa). As¨ª, los cinco primeros t¨¦rminos de la sucesi¨®n son:

0

01

0110

01101001

0110100110010110

Y aunque parezca que hemos abandonado el tablero de ajedrez, no lo hemos hecho todav¨ªa, pues el gran ajedrecista y matem¨¢tico neerland¨¦s Max Ewe (campe¨®n del mundo entre 1935 y 1937) descubri¨® que la sucesi¨®n de Thue se pod¨ªa utilizar para burlar la regla de la triple repetici¨®n y prolongar una partida de ajedrez indefinidamente.

La regla de las tres repeticiones establece que, si un jugador repite tres veces seguidas la misma jugada, la partida es tablas. ?C¨®mo se puede utilizar la sucesi¨®n de Thue para lograr una partida infinita? (Solo en teor¨ªa, pues en la pr¨¢ctica hay otras reglas que limitan la duraci¨®n de una partida de ajedrez, como la de las 50 jugadas seguidas sin capturas ni movimientos de peones).

La sucesi¨®n de Thue tiene notables propiedades y aplicaciones. Permite, por ejemplo, abordar un interesante problema num¨¦rico planteado por el Dr. Matrix, personaje creado por el maestro Martin Gardner:

?Cu¨¢l es la longitud m¨¢xima de una cadena formada por los d¨ªgitos 1 y 2 sin repetir ning¨²n d¨ªgito ni ninguna secuencia de forma consecutiva? Si empezamos por el 1, el siguiente d¨ªgito tiene que ser el 2, pues en 11 hay dos 1 consecutivos; y al 12 solo podemos a?adirle un 1 para obtener 121. Y ya no podemos seguir, pues si a?adimos un 1 tenemos dos 1 consecutivos y si a?adimos un 2 obtenemos 1212, con dos 12 consecutivos. ?Y con tres d¨ªgitos, 1, 2 y 3, cu¨¢l es la cadena m¨¢s larga que podemos formar de acuerdo con la misma regla? (Tomado del libro The Magic Numbers of Dr. Matrix, Martin Gardner, 1985).

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