Teselas de Penrose

La condici¨®n necesaria y suficiente para que un hex¨¢gono irregular pueda teselar el plano (ver art¨ªculo anterior) es que tenga simetr¨ªa central, como en el teselado hexagonal achaflanado de la figura. En este caso, las teselas irregulares tienen, adem¨¢s, simetr¨ªa axial, condici¨®n no necesaria, y se combinan con teselas regulares; pero salta a la vista que se puede teselar el plano prescindiendo de los peque?os hex¨¢gonos regulares.

En las ¨²ltimas semanas hemos hablado de teselas y de Penrose, por lo que es inexcusable unir ambos t¨¦rminos y dedicar unos p¨¢rrafos a las teselas de Penrose.

Todas las teselaciones de las que nos hemos ocupado recientemente, as¨ª como la inmensa mayor¨ªa de las que podemos ver en mosaicos y embaldosados de todo tipo, son peri¨®dicas, lo que significa que podemos delimitar en ellas una regi¨®n que pavimenta el plano por traslaci¨®n, es decir, desplaz¨¢ndola sin someterla a giros ni simetr¨ªas (una manera informal de decirlo es que el mismo dise?o b¨¢sico se mantiene a lo largo y a lo ancho de todo el teselado).

Los pol¨ªgonos regulares que pueden teselar el plano -el tri¨¢ngulo equil¨¢tero, el cuadrado y el hex¨¢gono regular- solo pueden hacerlo de forma peri¨®dica; pero con rombos iguales, por ejemplo, podemos realizar teselaciones tanto peri¨®dicas -el t¨ªpico arlequinado- como aperi¨®dicas (?puedes dibujar alguna?).

Un tipo peculiar de teselaciones aperi¨®dicas son las agrupaciones de teselas que forman copias de s¨ª mismas a mayor escala, que Solomon W. Golomb denomin¨® reptiles (contracci¨®n de repetitive tiles, teselas repetitivas), como vimos hace unos meses al hablar de los poliomin¨®s.

Durante mucho tiempo se pens¨® que todas las teselas que pod¨ªan dar lugar a teselaciones aperi¨®dicas, tambi¨¦n pod¨ªan reordenarse en configuraciones peri¨®dicas, como en el caso de los rombos o los reptiles; pero a partir de los a?os setenta del siglo pasado se han descubierto conjuntos de teselas que solo pueden dar lugar a teselaciones aperi¨®dicas, como las seis teselas obtenidas por Raphael M. Robinson a partir del cuadrado, o las seis de Robert Ammann, que vemos en la figura, tambi¨¦n a partir del cuadrado.

Pero quien m¨¢s ha avanzado en este campo es Roger Penrose, reciente Premio Nobel de f¨ªsica, que en 1973 descubri¨® un conjunto de seis teselas que imponen la teselaci¨®n aperi¨®dica. En 1974 las redujo a cuatro, y posteriormente las redujo a dos.

Hay dos parejas de estas teselas de Penrose binarias: una formada por dos rombos de lados iguales, pero ¨¢ngulos distintos (?puedes calcularlos?), y otra formada por dos cuadril¨¢teros con simetr¨ªa axial, uno c¨®ncavo y otro convexo, obtenidos por partici¨®n del rombo menos alargado de la pareja anterior, y que John Conway denomin¨® dart y kite (dardo y cometa). Para que el teselado al que pueden dar lugar sea necesariamente aperi¨®dico, hay que imponer ciertas restricciones; de lo contrario, es evidente que con la pareja de rombos se puede realizar un teselado peri¨®dico, y que un dardo y una cometa pueden acoplarse reconstruyendo el rombo del que derivan, con el que la teselaci¨®n peri¨®dica es igualmente obvia. Las restricciones pueden materializarse, por ejemplo, coloreando los lados y permitiendo solo la uni¨®n de lados del mismo color, o a?adiendo salientes y entrantes que limiten las formas de acoplamiento, como se ve en la figura.

Cuasicristales

Los teselados aperi¨®dicos podr¨ªan parecer un mero divertimento matem¨¢tico sin conexi¨®n con el mundo real; pero el descubrimiento de los cuasicristales a mediados de los a?os ochenta del siglo pasado (por el que Dan Shechtman recibi¨® el Premio Nobel de qu¨ªmica), mostr¨® que en la naturaleza se forman estructuras ordenadas, pero no peri¨®dicas, lo que supuso una aut¨¦ntica revoluci¨®n en el campo de la cristalograf¨ªa. Pero ese es otro art¨ªculo.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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