El oftalm¨®logo que utiliz¨® las matem¨¢ticas para entender el astigmatismo

Si le dij¨¦semos a un oftalm¨®logo, no especialista en ¨®ptica, que la geometr¨ªa diferencial ha sido crucial para entender la formaci¨®n de im¨¢genes en el ojo humano, quiz¨¢ nos mirase con expresi¨®n incr¨¦dula. Pero no menos esc¨¦ptica ser¨ªa la actitud de un matem¨¢tico, no experto en geometr¨ªa diferencial, si le cont¨¢semos que un oftalm¨®logo sueco y premio Nobel de Medicina, Allvar Gullstrand, hizo relevantes descubrimientos en geometr¨ªa diferencial intentando entender, de forma geom¨¦trica, el astigmatismo.

Gullstrand naci¨® el 5 de junio de 1862 en Landskrona, Suecia, y falleci¨® el 28 de julio de 1930 en Estocolmo. Como estudiante de instituto manifest¨® un gran inter¨¦s por las matem¨¢ticas y, en particular, por la geometr¨ªa diferencial, que hab¨ªa aprendido de manera autodidacta y que ser¨ªa su gran pasi¨®n durante toda la vida. Sin embargo, aunque pens¨® en hacer una carrera en ingenier¨ªa, finalmente, influido por su padre, eligi¨® estudiar Medicina. Una vez graduado, se especializ¨® en ¨®ptica visual, un ¨¢rea a caballo entre la ¨®ptica, optometr¨ªa y oftalmolog¨ªa. Esta es una rama del conocimiento que estudia el ojo como un instrumento ¨®ptico, es decir, que busca entender c¨®mo los elementos ¨®pticos del ojo ¨Cc¨®rnea y cristalino¨C forman im¨¢genes en la retina ¨Cla pel¨ªcula fotogr¨¢fica del ojo¨C.

Uno de los pilares de la ¨®ptica geom¨¦trica fue el modelo matem¨¢tico de la formaci¨®n de im¨¢genes en el ojo propuesto por Alhac¨¦n en el siglo X

Uno de los pilares de la ¨®ptica geom¨¦trica fue el modelo matem¨¢tico de la formaci¨®n de im¨¢genes en el ojo propuesto por Alhac¨¦n en el siglo X. Este enunciaba que al observar un objeto dentro del ojo se formaba una imagen visual que correspond¨ªa, punto a punto, con el objeto contemplado. Por tanto, la visi¨®n se pod¨ªa modelizar como una relaci¨®n entre conjuntos de puntos; a cada punto P del objeto real le hac¨ªa corresponder otro, el punto imagen P¡¯. Esta correspondencia matem¨¢tica se produc¨ªa, ya que de P emanaba un rayo principal que, pasando a trav¨¦s del centro de la pupila, llegaba a P¡¯.

Durante los nueve siglos siguientes se trat¨® de ampliar este modelo analizando, no solo lo que pasaba con este rayo principal, sino tambi¨¦n con otros rayos que tambi¨¦n emanaban de la misma fuente puntual y que entraban dentro del ojo. Ya en el siglo XIX, los investigadores en ¨®ptica geom¨¦trica observaron que, si se escogen unos pocos rayos alrededor de uno de estos rayos principales y se estudia lo que pasa en la imagen, pueden ocurrir varios fen¨®menos.

En primer lugar, que todos los rayos converjan en un mismo punto situado en la retina; entonces se forma una imagen puntual perfecta. En segundo lugar, que el punto de convergencia est¨¦ delante de la retina, y entonces aparece la miop¨ªa. Por ¨²ltimo, que est¨¦ detr¨¢s de la retina, lo que corresponde a la hipermetrop¨ªa. En los dos ¨²ltimos casos, en la retina se genera una imagen puntual emborronada de manera circular. Pero, adem¨¢s, tambi¨¦n puede ocurrir que los rayos no converjan en un ¨²nico punto, y que el emborronamiento no tenga forma circular sino el¨ªptica. En esta situaci¨®n, el eje mayor de la elipse marca la direcci¨®n preferente de emborronamiento, lo que se denomina eje del astigmatismo.

Gullstrand investig¨® en detalle las propiedades geom¨¦tricas de estos rayos cercanos al rayo principal. En concreto, estudi¨® el frente de onda, una superficie asociada a esos rayos y perpendicular a todos ellos

Gullstrand investig¨® en detalle las propiedades geom¨¦tricas de estos rayos cercanos al rayo principal. En concreto, estudi¨® el frente de onda, una superficie asociada a esos rayos y perpendicular a todos ellos. Gullstrand se percat¨® de que cuando el astigmatismo es cero ¨Clo que en geometr¨ªa diferencial equivale a decir que el frente de onda posee un punto umbilical¨C, entonces se produce un cambio abrupto ¨Cque denominamos singularidad matem¨¢tica¨C en la regi¨®n donde convergen los rayos llamada superficie focal.

Adem¨¢s, Gullstrand analiz¨® y clasific¨® los diferentes tipos de singularidades matem¨¢ticas que aparecen. En concreto, descubri¨® una manera particular de diferenciar entre distintos tipos de puntos umbilicales, algo que antes s¨®lo hab¨ªa sido abordado, con menor ¨¦xito, por el matem¨¢tico Jean G. Darboux. Estos resultados fueron aportaciones de gran importancia en geometr¨ªa diferencial.

Estas y otras notables contribuciones a la teor¨ªa matem¨¢tica de la formaci¨®n de im¨¢genes dentro del ojo le hicieron merecedor del Nobel de medicina en 1911. Pese a este reconocimiento, el trabajo de Gulltrand no tuvo, en su momento, un gran impacto en la comunidad cient¨ªfica. Dos razones apuntan a ello: por un lado, su obra se public¨® mayoritariamente en sueco; por otro, al trabajar entre dos campos tan aparentemente dispares, fue un incomprendido. Ni los oftalm¨®logos entend¨ªan las matem¨¢ticas que incorporaban sus investigaciones; ni los matem¨¢ticos se tomaban muy en serio el trabajo matem¨¢tico de un oftalm¨®logo.

Sin embargo, los descubrimientos de Gullstrand ejemplifican la importancia que tiene para la ciencia moderna la interdisciplinariedad como generadora de nuevo conocimiento. Otra muestra de ello es un reciente trabajo que a¨²na geometr¨ªa y ¨®ptica, sobre lentes progresivas, del que hablaremos en un pr¨®ximo art¨ªculo de esta secci¨®n.

Sergio Barbero es investigador en el Instituto de ?ptica del Consejo Superior de Investigaciones Cient¨ªficas

Mar¨ªa del Mar Gonz¨¢lez es investigadora en la Universidad Aut¨®noma de Madrid y miembro del ICMAT

?gata Tim¨®n G-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica del ICMAT y editora y coordinadora de esta secci¨®n

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

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