?Qu¨¦ es una curva?

Si nuestro pajarito de la semana pasada estuviera encerrado en una jaula acristalada, en la que el aire entrara y saliera solo por arriba, la b¨¢scula seguir¨ªa marcando 1.030 gramos durante su revoloteo, ya que toda la reacci¨®n de la acci¨®n ¡ªel aleteo¡ª que lo mantiene en el aire incidir¨ªa en la base de la jaula. En una jaula normal, abierta por todos lados, parte de esa reacci¨®n incidir¨ªa en la mesa en la que estuviera apoyada o en el suelo de la habitaci¨®n, por lo que la b¨¢scula marcar¨ªa un poco menos de 1.030 gramos; solo un poco, en principio, pues la reacci¨®n seguir¨ªa incidiendo mayoritariamente en la base de la jaula (aunque el c¨¢lculo preciso implicar¨ªa consideraciones de la din¨¢mica de fluidos, que es una de las ramas m¨¢s complejas de la mec¨¢nica).

El caso del pez en la pecera es distinto: en el momento del impulso que da lugar al salto, la b¨¢scula marcar¨¢ algo m¨¢s de 1.030 gramos debido a la reacci¨®n en el agua, que repercute en la base de la pecera, ya que el salto es hacia arriba; pero mientras el pez est¨¦ en el aire, la b¨¢scula marcar¨¢ 1.000 gramos (incluso puede llegar a marcar un pel¨ªn menos, por el efecto rebote), aunque solo por un instante, pues en cuanto el pez vuelva a caer en el agua marcar¨¢ algo m¨¢s de 1.030 gramos durante una fracci¨®n de segundo, a causa del impacto, para enseguida estabilizarse de nuevo en 1.030 gramos.

En el caso de la bola de hierro, cuando descansa en el fondo de la pecera la b¨¢scula marca 2.000 gramos. Al meter la mano, el principio de Arqu¨ªmedes y la tercera ley de Newton se al¨ªan para que la b¨¢scula indique un aumento de peso igual al volumen del agua desalojada; si tu mano desaloja medio litro de agua, la b¨¢scula marcar¨¢ 2.500 gramos; pero en el momento mismo en que empieces a levantar la bola de hierro, la b¨¢scula marcar¨¢ bastante menos. ?Cu¨¢nto menos y por qu¨¦?

La equivalencia entre el sobre a dibujar sin levantar el l¨¢piz del papel y los puentes de Kaliningrado estriba en que en ambos caso tenemos dos nodos con un n¨²mero par de caminos concurrentes y otros dos con un n¨²mero impar. El v¨¦rtice superior del sobre no cuenta como nodo del grafo, ya que podemos sustituirlo por un ¨²nico trazo curvo.

Cu¨¦ntaselo a tu abuela

Si te parece abusivo equiparar una l¨ªnea quebrada ¡ªla solapa del sobre¡ª a un trazo curvo, seguramente ser¨¢ porque tienes muy claro lo que es una curva. O eso crees. Einstein dec¨ªa que si no era capaz de explicarle algo a su abuela, eso significaba que ¨¦l tampoco lo entend¨ªa del todo (por eso no acept¨® nunca la mec¨¢nica cu¨¢ntica: ?te imaginas a la abuela de Einstein diciendo: ¡°No digas disparates, Albert, ?c¨®mo va a estar un gato vivo y muerto a la vez?¡±). As¨ª que intenta explicarle a tu abuela imaginaria ¡ªo a la real, si a¨²n disfrutas de su atenci¨®n¡ª qu¨¦ es una curva y ver¨¢s que no es tan sencillo. No se trata de dar una explicaci¨®n aproximada, sino una definici¨®n precisa y aplicable a todas las curvas.

Los antiguos griegos dieron varias definiciones de curva. La m¨¢s conocida es la que dice que una curva es la intersecci¨®n de dos superficies (lo cual incluye a la recta, considerada como curva de curvatura cero, como intersecci¨®n de dos planos). Por eso llamamos ¡°c¨®nicas¡± a la circunferencia, la elipse, la par¨¢bola y la hip¨¦rbola, porque pueden obtenerse como intersecciones de un cono con un plano seg¨²n distintos ¨¢ngulos.

Otra definici¨®n cl¨¢sica es la de ¡°lugar geom¨¦trico¡±: la curva es el lugar que ocupan los puntos que cumplen una determinada condici¨®n; as¨ª, una circunferencia de radio R y centro C es el lugar geom¨¦trico de los puntos del plano cuya distancia al punto C es R.

El desarrollo de la geometr¨ªa anal¨ªtica, en el siglo XVII, permiti¨® ampliar el concepto de lugar geom¨¦trico: las curvas son las representaciones gr¨¢ficas de funciones algebraicas, o lo que es lo mismo, el lugar geom¨¦trico de los puntos cuyas coordenadas son soluciones de una ecuaci¨®n con dos inc¨®gnitas. Pero no de todas, pues las gr¨¢ficas de ciertas funciones son conjuntos de puntos o trazos desconectados a los que nunca llamar¨ªamos curvas. Y la cosa se complic¨® a¨²n m¨¢s cuando, a finales del siglo XIX, el matem¨¢tico y fil¨®sofo italiano Giuseppe Peano (1858-1932) dio a conocer una curva ¡°monstruosa¡± (otros la llamaron ¡°patol¨®gica¡±) que, en el l¨ªmite, se convierte en un cuadrado compacto: un salto de la primera a la segunda dimensi¨®n m¨¢s propio de un relato de ciencia ficci¨®n que de un tratado de geometr¨ªa. Pero ese es otro art¨ªculo. O varios.

Volviendo a las familiares, hermosas y nada patol¨®gicas, c¨®nicas, ?cu¨¢les de ellas ¡ªy c¨®mo¡ª podr¨ªas generar con una pelota y una linterna?

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