Geometr¨ªa fractal para la detecci¨®n eficaz de tumores

Seg¨²n muestran estudios cient¨ªficos relativamente recientes, es posible identificar las primeras etapas de formaci¨®n de tumores con t¨¦cnicas de geometr¨ªa fractal y multifractal. Estos m¨¦todos permiten caracterizar los cambios de irregularidad que se producen en los contornos de las c¨¦lulas, tejidos y redes vasculares durante el desarrollo de alguna masa anormal. As¨ª, se podr¨ªa determinar el grado de lesi¨®n producido en el tejido primario y ayudar a reducir los diagn¨®sticos err¨®neos o las ambig¨¹edades diagn¨®sticas.

La idea de fractal ¨Ct¨¦rmino propuesto en 1975 por el matem¨¢tico Beno?t Mandelbrot (1924-2010)¨C se vincula a un objeto geom¨¦trico cuya estructura b¨¢sica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas, lo que se conoce como autosemejanza y cuya construcci¨®n y desarrollo te¨®rico nos sumerge en el mundo matem¨¢tico de los procesos infinitos.

Podemos atisbar esta propiedad en la estructura de algunas clases de plantas o ¨¢rboles ¨Cpor ejemplo, en una cabeza de coliflor y en algunas clases de helechos en los que cualquier hoja parece una r¨¦plica de la figura completa¨C, o en el contorno de algunas nubes, lo que en la lejan¨ªa se percibe como una ¨²nica nube, visto de m¨¢s cerca pueden aparecer fragmentos m¨¢s peque?os que se repiten a diferentes escalas.

Un ejemplo de lo que hoy en d¨ªa catalogamos como fractal matem¨¢tico fue propuesto en 1915 por el cient¨ªfico polaco Wac?aw Franciszek Sierpi¨½ski (1882-1969). Su construcci¨®n, a partir de un tri¨¢ngulo, proporciona una secuencia de figuras geom¨¦tricas que encierran un ¨¢rea que tiende a cero y cuyo per¨ªmetro tiende a infinito. Esto hace que, con tal de recoger eficazmente su grado de irregularidad y fragmentaci¨®n (y tambi¨¦n su eficacia para ocupar o llenar un espacio o conjunto), surja la idea de asociar una dimensi¨®n no entera a un objeto fractal a caballo entre la l¨ªnea y la superficie. En el caso del tri¨¢ngulo de Sierpinski, la dimensi¨®n (de autosemejanza) asociada es aproximadamente de 1,585.

La existencia de fractales autosemejantes en el mundo real no es plausible. En efecto, no se perciben copias reducidas del objeto inicial que sean totalmente exactas y, adem¨¢s, se observa ¨²nicamente un n¨²mero finito de niveles de autosemejanza. Sin embargo, muchos elementos de la naturaleza tambi¨¦n presentan una forma enmara?ada y es posible identificar un patr¨®n fractal imperfecto o aproximado mediante el an¨¢lisis fractal. Un ejemplo de ello es el tratamiento de las im¨¢genes digitales, ampliamente utilizadas para el diagn¨®stico m¨¦dico. Por ejemplo, aunque muchos procesos cancer¨ªgenos se dejan notar en la superficie, su morfolog¨ªa puede ser muy distinta en funci¨®n de la escala con la que se observa y, en este sentido, el an¨¢lisis exhaustivo realizado con la ayuda de estas im¨¢genes contribuye a estimar las distintas propiedades morfol¨®gicas existentes.

Pero no es f¨¢cil proporcionar un valor num¨¦rico que represente fielmente la forma irregular de estos elementos naturales. Un par¨¢metro que se utiliza habitualmente es la llamada dimensi¨®n por recuento de cajas, que correlaciona las observaciones a diferentes graduaciones del mismo fragmento analizado, permitiendo cuantificar la rapidez con la que se desarrollan las irregularidades existentes (a medida que el tama?o de la observaci¨®n o de caja se va haciendo cada vez m¨¢s peque?o).

Este proceso de conteo acarrea buenos resultados en el caso de que el contorno analizado se ajuste de alg¨²n modo a la propiedad matem¨¢tica de la autosemejanza. Sin embargo, la complejidad de algunas im¨¢genes hace que el valor obtenido del par¨¢metro (a modo de dimensi¨®n fractal) pueda no ser identificativo de su estructura inherente. Esto se puede arreglar mediante el an¨¢lisis multifractal.

La multifractalidad analiza la distribuci¨®n de los p¨ªxeles identificativos del contorno estudiado, no ¨²nicamente el recuento de cajas o cuadrados que intersecan con el contorno, lo que permite estudiar de forma local su estructura interna y la variaci¨®n existente en la morfolog¨ªa considerada. De esta manera, en lugar de trabajar con un solo par¨¢metro o dimensi¨®n, se hace indispensable manejar un conglomerado de valores ¡ªt¨¦cnicamente conocido con el nombre de espectro multifractal¡ª que permita evaluar, por ejemplo, las distintas propiedades de escala y densidad que pudieran estar presentes. En el caso de monofractalidad (esto es, simplemente, fractalidad), este espectro se reducir¨ªa a un conglomerado de valores superpuestos.

El an¨¢lisis multifractal se emplea para la exploraci¨®n pormenorizada de im¨¢genes m¨¦dicas, cada vez m¨¢s, gracias a la mejora de la tecnolog¨ªa involucrada. En 2015, el grupo dirigido por Igor Sokolov (Universidad Tufts) y Craig Woodworth (Universidad Clarkson) public¨® una serie de resultados que mostraban estructuras multifractales en la superficie de las c¨¦lulas que est¨¢n a punto de transformarse en cancerosas ¡ªen concreto en tejidos de cuello uterino, conectando el cuerpo del ¨²tero con la vagina¡ª. Estas estructuras no est¨¢n presentes ni en las c¨¦lulas sanas ni en las c¨¦lulas enfermas del mismo tejido, por lo que, identific¨¢ndolas, ser¨ªa posible realizar un diagn¨®stico de esta enfermedad, antes de que se desarrolle el tumor.

Estos prometedores estudios realizados sugieren que esta joven ¨¢rea de las matem¨¢ticas podr¨ªa ser clave en la detecci¨®n eficaz de anomal¨ªas e identificaci¨®n a tiempo de un posible problema cancer¨ªgeno de cuello uterino.

Juan Mat¨ªas Sepulcre Mart¨ªnez es Profesor Titular de Universidad en el Departamento de Matem¨¢ticas de la Universidad de Alicante

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

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