El omnipresente n¨²mero pi

Desde el punto de vista geom¨¦trico, pi es la relaci¨®n entre el per¨ªmetro de un c¨ªrculo y su di¨¢metro, es decir, el doble de pi multiplicado por el radio indica la longitud de la circunferencia. Este es un hecho tan fundamental que los matem¨¢ticos expresan los ¨¢ngulos en t¨¦rminos de pi refiri¨¦ndose a una vuelta completa con 2¦Ð o a media vuelta con ¦Ð, donde otros dir¨ªan 360¡ã o 180¡ã. Si en un restaurante italiano alguien pide pi cuartos de pizza, muy probablemente es matem¨¢tico (y bastante exc¨¦ntrico).

Lo que resulta curioso es que pi tambi¨¦n aparece con much¨ªsima frecuencia en matem¨¢ticas cuando no se atisba nada que sugiera un c¨ªrculo. Por ejemplo, en problemas de aritm¨¦tica elemental. Imaginemos un n¨²mero impar N muy grande; multiplicamos entre ellos los n¨²meros pares y los impares, respectivamente, hasta N, y a los resultados los llamamos p y q. Pues bien, al elevar al cuadrado p/q y multiplicarlo por el doble de N se obtiene un n¨²mero que se acerca cada vez m¨¢s a pi, seg¨²n crece N. Esta es la f¨®rmula de Wallis, propuesta a mediados del siglo XVII. La f¨®rmula produce aproximaciones muy pobres de pi, a no ser que tomemos N gigantesco: con N=1001 solo se obtienen dos decimales correctos a cambio de un esfuerzo computacional excesivo.

Para obtener estimaciones de pi con una calculadora de bolsillo se puede emplear uno de los llamados m¨¦todos de aproximaciones sucesivas para la resoluci¨®n de ecuaciones: se elige cualquier n¨²mero entero o decimal entre 1 y 3. Se le suma su seno (con la calculadora en modo radianes) y se repite la operaci¨®n unas cuantas veces. En breve se obtendr¨¢ un flamante 3.14159¡­ Partiendo de 3 obtenemos 10 decimales correctos de pi con solo dos repeticiones.

Alguien podr¨ªa alegar, con parte de raz¨®n, que eso de tener la calculadora en modo radianes, es cosa de matem¨¢ticos, como pedir pi cuartos de pizza, y que bajo ese modo de operaci¨®n est¨¢ pi agazapado. Tal cr¨ªtica no afecta al siguiente ejemplo: calculamos 640320 al cubo, le sumamos 744, hallamos el logaritmo neperiano de esa suma y lo dividimos por la ra¨ªz cuadrada de 163. El resultado coincide con pi hasta 30 cifras decimales. ?Qu¨¦ tienen de particular estos n¨²meros? ?Es una casualidad? A fin de cuentas, hay tantos n¨²meros y tantas maneras de jugar con ellos que es f¨¢cil dejarse caer en las trampas de la numerolog¨ªa. Sin embargo, en este caso no solo no es casualidad, sino que existe una explicaci¨®n muy profunda, que toca ciertos temas que aparecen en la demostraci¨®n del ¨²ltimo teorema de Fermat.

Existen algoritmos muy eficientes para aproximar pi con toda la precisi¨®n que deseemos. Por ejemplo, el algoritmo de Salamin-Brent (o Gauss-Legendre) permite obtener 18 cifras decimales correctas con solo tres repeticiones y m¨¢s de 40 millones de decimales con 25 repeticiones. Dicho sea de paso, Srinivasa Ramanujan, el c¨¦lebre matem¨¢tico indio, hizo contribuciones fundamentales al tema.

Pi tambi¨¦n es ineludible en la probabilidad y la estad¨ªstica (que est¨¢n actualmente m¨¢s de moda que nunca por el auge de lo que se ha dado en llamar big data), con una aparici¨®n notable en la campana de Gauss. No sorprende, entonces, que haya procedimientos ¡°experimentales¡±, aunque muy poco eficientes, que permiten aproximar pi de forma probabilista. El m¨¢s cl¨¢sico es el problema de la aguja de Buffon, cuya soluci¨®n implica que si trazamos l¨ªneas horizontales separadas dos unidades de longitud y lanzamos al azar una aguja de longitud uno, entonces la probabilidad de que toque a alguna de las l¨ªneas es uno entre pi.

Quiz¨¢ no sea tan espectacular para personas sin afici¨®n que pi aparezca en matem¨¢ticas en sitios donde no se le llama y siempre pueden protestar con el socorrido ¡°?y a m¨ª qu¨¦ me importa?¡± que tanto entristece a los devotos. Sin embargo, basta con que abran un libro de f¨ªsica o de ingenier¨ªa para que se convenzan de que pi est¨¢ escrito por todas partes combinado con algunas constantes f¨ªsicas universales. En la humilde f¨®rmula del periodo del p¨¦ndulo simple de la mec¨¢nica elemental aparece dividido por la ra¨ªz cuadrada de la aceleraci¨®n de la gravedad; en las ilustres ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general, est¨¢ dividido por la cuarta potencia de la velocidad de la luz y multiplicado por la constante de gravitaci¨®n universal ?menudos compa?eros!

A veces, para abreviar, se acumula pi a una constante f¨ªsica. Por ejemplo, la constante de Planck original, asociada a la radiaci¨®n del cuerpo negro, aparece dividida por el doble de pi en la ecuaci¨®n de Schr?dinger y se la redefine, diciendo que es la constante ¡°reducida¡±, para no tener que escribir pi por todas partes. A pesar de esta abreviatura, los textos de f¨ªsica cu¨¢ntica no se libran de que el travieso s¨ªmbolo de pi asome su tup¨¦ por doquier.

Otro ejemplo es la constante de estructura fina, que combina, a escala at¨®mica, los efectos cu¨¢nticos y los de la relatividad especial. Cuando en f¨ªsica de altas energ¨ªas se utilizan las unidades m¨¢s econ¨®micas, las unidades naturales ¨Dque consideran adimensionales las velocidades, los momentos angulares y las cargas¨D, dicha constante es la cuarta parte del cuadrado de la carga del electr¨®n entre pi. Este ejemplo es totalmente artificial, porque la elecci¨®n de unidades es puro convenio, pero refleja indirectamente la reverencia cient¨ªfica que se tiene a pi.

Sirva este catorce de marzo, 3/14, de 2022 (que son los decimales en las posiciones de la 17952 a la 17955 de pi) no ya para celebrar un n¨²mero con d¨ªgitos azarosos que fascina a los especialistas desde tiempos inmemoriales, sino la ubicuidad de las matem¨¢ticas y el sorprendente poder de una ciencia que act¨²a sigilosamente, casi como ciencia oculta para el gran p¨²blico, encarnada en f¨®rmulas, algoritmos e implementaciones ya sea para saciar nuestra sed de conocimiento o para transformar el mundo.

Fernando Chamizo es profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n G Longoria (ICMAT).

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