?Es 3,14 una buena aproximaci¨®n de Pi?

Si preguntas el valor del n¨²mero Pi a cualquier persona, habr¨¢ algunas que responder¨¢n que es 3,14. Sin embargo, como tambi¨¦n muchas otras saben, no es cierto. Pi tiene infinitas cifras decimales no peri¨®dicas, no solo dos, es decir, es un n¨²mero irracional. Pese a ello, para algunas cosas es muy ¨²til poder aproximar irracionales, como Pi, mediante n¨²meros racionales, con los cuales es m¨¢s f¨¢cil trabajar. Un n¨²mero racional es aquel que se puede expresar como fracci¨®n, es decir, un cociente de dos n¨²meros enteros, llamados numerador (la parte arriba) y denominador (la parte abajo). Para aproximar Pi se suele emplear el n¨²mero racional 3,14, es decir 157/50, pero, ?es este un buen redondeo? ?C¨®mo podemos afirmar, en general, que una aproximaci¨®n racional lo es?

Un primer criterio es que sea cercana al valor del n¨²mero irracional. Sin otro dato, podr¨ªamos decir que 3,1416 es una aproximaci¨®n mejor que 3,14. Otro criterio, muchas veces contradictorio con lo anterior, es que sea una expresi¨®n sencilla. En ocasiones se dan ambas propiedades: por ejemplo, aunque las fracciones 157/50 y 22/7 son ambas aproximaciones de Pi, la segunda es m¨¢s simple y adem¨¢s est¨¢ m¨¢s cerca del valor real de Pi: no hay duda de cu¨¢l escoger.

Existe una dicotom¨ªa generada por la elecci¨®n del t¨¦rmino de error: si su tama?o es suficientemente grande, se pueden representar todos los n¨²meros, pero si es demasiado peque?o no se puede representar ninguno

De forma general, al aproximar un n¨²mero irracional mediante una fracci¨®n el ¡°precio a pagar¡± es el tama?o del denominador y la ¡°ganancia¡± es la ¡°bondad¡± de la aproximaci¨®n, es decir, el tama?o del error. El objetivo es optimizar las elecciones del denominador y el error. Podemos tambi¨¦n establecer que estos dos valores est¨¦n relacionados entre ellos (por ejemplo el error puede ser inversamente proporcional al cuadrado del denominador escogido). Esto permite tener, al mismo tiempo, alta precisi¨®n y simplicidad en la representaci¨®n. En 1837 el matem¨¢tico Gustav Lejeune Dirichlet demostr¨® que existen infinitas maneras distintas de aproximar los n¨²meros irracionales con fracciones, admitiendo precisamente un t¨¦rmino de error inversamente proporcional al cuadrado del denominador.

Pero el problema no qued¨® resuelto aqu¨ª, sino todo lo contrario, aparecieron nuevas preguntas: ?es posible buscar expresiones que introduzcan un t¨¦rmino de error m¨¢s peque?o? ?Hay n¨²meros que se pueden representar con restricciones (de error y denominador) m¨¢s fuertes que otros? ?Cu¨¢les? Richard Duffin y Albert Schaeffer estudiaron este problema en el a?o 1941. Ellos observaron que existe una dicotom¨ªa generada por la elecci¨®n del t¨¦rmino de error: si su tama?o es suficientemente grande, se pueden representar todos los n¨²meros, pero si es demasiado peque?o no se puede representar ninguno. Formularon de forma t¨¦cnica esta idea pero no fueron capaces de demostrarla, con lo que el problema qued¨® abierto durante d¨¦cadas. Como sucede muchas veces en matem¨¢ticas, y en particular en teor¨ªa de n¨²meros, una cuesti¨®n sencilla de explicar resulta muy dif¨ªcil de solucionar.

Este verano, Dimitri Koukoulopoulos, de la Universidad de Montreal, y James Maynard, de la Universidad de Oxford, dieron con la respuesta. Ambos son investigadores muy reputados en la llamada teor¨ªa anal¨ªtica de n¨²meros, que utiliza t¨¦cnicas de an¨¢lisis para obtener resultados aritm¨¦ticos, pero no son expertos en el ¨¢rea particular de la aproximaci¨®n diof¨¢ntica, en la que se engloba el problema, lo que hizo especialmente sorprendente su anuncio. Fue en un congreso de teor¨ªa de n¨²meros que tuvo lugar en julio de este a?o en Cetaro, Italia, ante un centenar de expertos del campo. El art¨ªculo, On the Duffin-Schaefer conjecture es un trabajo extenso que introduce numerosas herramientas matem¨¢ticas novedosas, y est¨¢ a¨²n en proceso de revisi¨®n por las revistas cient¨ªficas. Aunque la comunidad matem¨¢tica solo aceptar¨¢ completamente la demostraci¨®n del resultado despu¨¦s de un an¨¢lisis muy detallado por parte de expertos, numerosos investigadores ya se han hecho eco de lo que parece ser un nuevo hito.

Existen infinitas maneras distintas de aproximar los n¨²meros irracionales con fracciones, admitiendo precisamente un t¨¦rmino de error inversamente proporcional al cuadrado del denominador

Pero, ?qu¨¦ dir¨ªa la conjetura en el caso de Pi? ?Cu¨¢l ser¨ªa una buena aproximaci¨®n del irracional m¨¢s famoso de todos los tiempos? Aplicando el criterio de Dirichlet es f¨¢cil comprobar que 3,14 = 157/50 no es muy buen redondeo, por ejemplo, 22/7 es una aproximaci¨®n mucho mejor. El resultado de Duffin y Schaeffer sugiere aproximaciones m¨¢s eficientes que sirven para casi todos los n¨²meros irracionales, salvo algunos conjuntos de medida (probabilidad) nula, y tendr¨¢ consecuencias muy interesantes en la teor¨ªa de n¨²meros, por ejemplo en la caracterizaci¨®n de los n¨²meros trascendentes.

Daniele Casazza es investigador postdoctoral en el ICMAT

?gata Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria es responsable de Comunicaci¨®n y Divulgaci¨®n en el ICMAT

Caf¨¦ y Teoremas?es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: "Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas".

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata Tim¨®n (ICMAT).

Puedes seguir a Materia en Facebook, Twitter, Instagram o suscribirte aqu¨ª a nuestra newsletter