El teorema de Viviani

Con respecto al punto de Fermat-Torricelli, dice nuestro comentarista habitual Salva Fuster:

¡°Una construcci¨®n sencilla que nos permite hallar el punto de Fermat-Torricelli para el caso de un tri¨¢ngulo cuyo ¨¢ngulo mayor es inferior a 120? consiste en dibujar dos tri¨¢ngulos equil¨¢teros (hacia el exterior) sobre cualquier par de lados del tri¨¢ngulo. Posteriormente, unimos cada uno de los dos nuevos v¨¦rtices con el v¨¦rtice m¨¢s alejado del tri¨¢ngulo original. Los dos segmentos tienen como intersecci¨®n el punto de Fermat-Torricelli¡±. Y a?ade: ¡°Creo que una manera muy interesante de ver que el punto de F-T es el que presenta ¨¢ngulos de 120? entre el punto y los v¨¦rtices del tri¨¢ngulo es la siguiente:

¡ªDibujamos tres semirrectas que parten del mismo punto y que forman entre ellas 120?.

¡ªAcoplamos los v¨¦rtices de tri¨¢ngulo que queramos (su ¨¢ngulo mayor no debe superar 120?) de manera que se encuentren sobre esas tres semirrectas.

¡ªDibujamos en cada v¨¦rtice, una perpendicular a la semirrecta que lo contiene, form¨¢ndose un tri¨¢ngulo equil¨¢tero.

¡ªTeniendo en cuenta el teorema de Viviani, podemos ver que cualquier otro candidato a punto de F-T que no sea el origen de las tres semirrectas, tendr¨¢ una distancia total mayor¡±.

El?teorema de Viviani, que debe su nombre al matem¨¢tico y f¨ªsico italiano Vincenzo Viviani (1622-1703), dice que la suma de las distancias desde un punto interior a cada uno de los lados de un tri¨¢ngulo equil¨¢tero es igual a la altura del tri¨¢ngulo (?se te ocurre una demostraci¨®n sencilla?).

El teorema de Viviani se puede generalizar a todos los pol¨ªgonos equil¨¢teros y los pol¨ªgonos equi¨¢ngulos: la suma de las distancias desde un punto interior cualquiera a los lados de un pol¨ªgono equil¨¢tero o equi¨¢ngulo es constante.

Vincenzo Viviani es conocido, sobre todo, porque fue durante mucho tiempo colaborador y hombre de confianza de Galileo, de cuya primera biograf¨ªa es autor. Tambi¨¦n fue el primero en determinar la velocidad del sonido, y se adelant¨® a Foucault en dos siglos en construir el p¨¦ndulo que lleva el nombre del f¨ªsico franc¨¦s.

La ventana de Viviani

Menos conocido fuera del ¨¢mbito especializado es el problema arquitect¨®nico conocido como ¡°la ventana de Viviani¡±, que el matem¨¢tico florentino plante¨® a finales del siglo XVII, y que fue abordado, entre otros, por Leibniz y Bernoulli. Consiste en abrir en una c¨²pula hemisf¨¦rica cuatro ventanas iguales de manera que la superficie restante de la c¨²pula sea cuadrable (se dice que una figura es ¡°cuadrable¡± si es posible obtener, a partir de ella y por m¨¦todos geom¨¦tricos, un cuadrado que tenga la misma ¨¢rea, como en el conocido ¡ªe imposible¡ª caso de la cuadratura del c¨ªrculo). La soluci¨®n es la intersecci¨®n de la c¨²pula con un cilindro cuyo radio es la mitad del de la esfera (pero ese es otro art¨ªculo).

El artefacto de Varignon

Con respecto al punto de Torricelli, comenta Susana Luu:

¡°Aparte del ¨¢rbol de Steiner, problema que no conoc¨ªa, otra generalizaci¨®n obvia de ese problema es: dados n puntos, no necesariamente tres, calcular un punto tal que la suma de las distancias de este a los n puntos sea m¨ªnima. Me encontr¨¦ este problema hace tiempo, y me gust¨® mucho una forma de calcular la soluci¨®n: interpretarlo como un problema en f¨ªsica, como el artefacto de Varignon¡±.

?Se te ocurre una sencilla manera de convertir la determinaci¨®n del punto de Torricelli en un problema de f¨ªsica?

Dicho sea de paso (y a modo de pista), Pierre Varignon (1654-1722) fue un matem¨¢tico y f¨ªsico franc¨¦s que hizo importantes contribuciones a la est¨¢tica, y muy concretamente a las condiciones de equilibrio en tres dimensiones. Tambi¨¦n es conocido por el teorema que lleva su nombre, que dice que los puntos medios de los lados de un cuadril¨¢tero cualquiera son los v¨¦rtices de un paralelogramo (?puedes demostrarlo?).